📂古典力学

物理学における一般化座標とは何ですか？

定義¹

自由度が$n$の粒子系の座標を、(1)束縛条件と関係ない(2)互いに独立である$n$個の変数で表したものを一般化座標^{generalized coordinates}という。

一般化座標

3次元空間で粒子の自由度が$3$であるならば、粒子の位置は一般化座標$q_{1}, q_{2}, q_{3}$により次のように表現できる。

$$\begin{align*} x &= x(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \\ y &= y(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \\ z &= z(q_{1}, q_{2}, q_{3}) \end{align*}$$

自由度が$2$または$1$であれば、それぞれ次のように表される。

$$\begin{align*} x &= x(q_{1}, q_{2}) \\ y &= y(q_{1}, q_{2}) \\ z &= z(q_{1}, q_{2}) \end{align*} \qquad\qquad \begin{align*} x &= x(q) \\ y &= y(q) \\ z &= z(q) \end{align*}$$

円運動

2次元空間で単位円を軌道として円運動する粒子を考えてみよう。粒子の位置は極座標$r = (x,y)$で表現できる。このとき$y=\sqrt{1-x^{2}}$なので、この粒子系の自由度は$2-1=1$だ。

$$\begin{align*} x &= x\\ y &= \sqrt{1 - x^{2}} \end{align*} \quad \implies \quad r = (x, \sqrt{1-x^{2}})$$

もちろん、この場合には角度$\theta$で表す方がはるかに便利だ。 $$r = (\cos\theta, \sin\theta)$$ ここで束縛条件は$x^{2} + y^{2} = 1$であり、一般化座標は$\theta$だ。

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二重振り子

半径が$R, r (R \gt r)$の二重振り子を考えてみよう。2次元で2つの振り子の位置を表現するためには4つの座標$(x_{1}, y_{1})$、$(x_{2}, y_{2})$が必要だが、自由度は$2$だ。2つの振り子が$x$軸と成す角度を$\theta_{1}, \theta_{2}$とすれば、この2つの変数で粒子系の全ての位置を表現できる。

$$\begin{align*} x_{1} &= R\cos\theta_{1} \\ y_{1} &= R\sin\theta_{1} \\ x_{2} &= R\cos\theta_{1} + r\cos\theta_{2} \\ y_{2} &= R\sin\theta_{1} + r\sin\theta_{2} \end{align*}$$

ここで一般化座標は$(\theta_{1}, \theta_{2})$だ。

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一般化速度

一般化速度は連鎖律により次のように表される。

$$\dot{x} = \sum\limits_{i=1}^{3} \dfrac{\partial x}{\partial q_{i}} \dot{q_{i}} \qquad \dot{y} = \sum\limits_{i=1}^{3} \dfrac{\partial y}{\partial q_{i}} \dot{q_{i}} \qquad \dot{z} = \sum\limits_{i=1}^{3} \dfrac{\partial z}{\partial q_{i}} \dot{q_{i}}$$

一般化座標で計算されるエネルギー

例1

一般化座標で運動エネルギーと位置エネルギーを計算する具体例を見てみよう。次の図のように、質量が$M$の物体が$x$軸に沿って動ける状況と、質量が$m$の物体がそこにぶら下がり半径が$r$の振り子運動をする状況を考えてみよう。

この粒子系を記述するためには、$M$の位置$(X, Y)$と$m$の位置$(x, y)$、合計4つの変数が必要だ。しかし、次のような束縛条件があるので、実際には自由度が$2$で、2つの変数だけで粒子系の全ての位置を表現できる。 $$Y = 0 \\ (x - X)^{2} + y^{2} = r^{2}$$

この粒子系を$X$と$\theta$の2つの変数で表現できるので、一般化座標は$(X, \theta)$だ。 $$\begin{align*} (X, Y) &= (X, 0) \\ (x, y) &= (X + r\sin\theta, -r\cos\theta) \end{align*}$$

一般化速度は次のとおりだ。

$$\dot{X} = \dot{X}, \qquad \dot{x} = \dot{X} + r \dot{\theta} \cos\theta, \qquad \dot{y} = -r \dot{\theta} \sin\theta$$

それでは、運動エネルギー$T$と位置エネルギー$V$はそれぞれ以下のとおりだ。 $$\begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} M \dot{X}^{2} + \dfrac{1}{2} m \left( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} M \dot{X}^{2} + \dfrac{1}{2} m \left[ (\dot{X} + r \dot{\theta} \cos\theta)^{2} + (-r \dot{\theta} \sin\theta)^{2} \right] \\[1em] V &= MgY + mgy \\ &= -mgr\cos\theta \end{align*}$$

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例2

中心力が作用する2次元平面上の粒子の運動を考えてみよう。一般化座標として極座標を選べば$q_{1} = r$、$q_{2} = \theta$であり、位置と速度は次のとおりだ。

$$\begin{align*} x &= r\cos\theta &\quad y &= r\sin\theta \\ \dot{x} &= \dot{r}\cos\theta - r\dot{\theta}\sin\theta &\quad \dot{y} &= \dot{r}\sin\theta + r\dot{\theta}\cos\theta \end{align*}$$

したがって、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは、

$$\begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} m (\dot{x}^{2} + \dot{y}^{2}) = \dfrac{1}{2} m (\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}) \\ V &= V(r) \end{align*}$$

速度ベクトルを用いて求めても同じ結果を得ることができる。極座標系での速度は次のとおりだ。

$$\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_{r} + r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}$$

したがって、$|\mathbf{v}|^{2} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}$なので運動エネルギーは次のとおりだ。

$$T = \dfrac{1}{2} m |\mathbf{v}|^{2} = \dfrac{1}{2} m (\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2})$$

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