📂幾何学

測地線座標写像のガウス曲率

定理¹

測地線座標写像の$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$のメトリック行列は以下のとおりだ。

$$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix} \quad (h \gt 0)$$

すると、$\mathbf{x}$のガウス曲率は以下のとおりだ。

$$K = -\dfrac{h_{11}}{h}$$

この時、$(u^{1}, u^{2})$は$U$の座標で、$h_{i} = \dfrac{\partial h}{\partial u^{i}}$である。

証明

ガウスの偉大な定理

$$K = \dfrac{\sum\limits_{\ell} R_{121}^{\ell}g_{\ell 2}}{g}$$

ここで、$R_{ijk}^{\ell}$はリーマン曲率テンソルの係数、$g$と$g_{ij}$はリーマンメトリックの係数だ。

$g_{12} = 0$なので、ガウスの定理から$R_{121}^{2}$だけ計算すれば良い。定義により、

$$R_{121}^{2} = \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{2}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{2}}{\partial u^{1}} + \sum\limits_{p=1}^{2} \left( \Gamma_{11}^{p}\Gamma_{p2}^{2} - \Gamma_{12}^{p}\Gamma_{p1}^{2} \right)$$

ここで、$\Gamma_{ij}^{k}$はクリストッフェル記号である。測地線パッチのクリストッフェル記号は次の通りだ。

測地線座標写像のクリストッフェル記号

下記のもの以外は全て$0$だ。

$$\Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h}$$

したがって、次を得る。

$$\begin{align*} R_{121}^{2} &= \dfrac{\partial \Gamma_{11}^{2}}{\partial u^{2}} - \dfrac{\partial \Gamma_{12}^{2}}{\partial u^{1}} + \sum\limits_{p=1}^{2} \left( \Gamma_{11}^{p}\Gamma_{p2}^{2} - \Gamma_{12}^{p}\Gamma_{p1}^{2} \right) \\ &= - \dfrac{\partial }{\partial u^{1}}\dfrac{h_{1}}{h} + \sum\limits_{p=1}^{2} \left( - \Gamma_{12}^{p}\Gamma_{p1}^{2} \right) \\ &= - \dfrac{h_{11}h - h_{1}h_{1}}{h^{2}} - \Gamma_{12}^{1}\Gamma_{11}^{2} - \Gamma_{12}^{2}\Gamma_{21}^{2} \\ &= - \dfrac{h_{11}h - h_{1}h_{1}}{h^{2}} - \dfrac{(h_{1})^{2}}{h^{2}} \\ &= - \dfrac{h_{11}}{h} \end{align*}$$

それゆえ、ガウス曲率は、$g_{22} = g = h^{2}$なので、

$$K = \dfrac{R_{121}^{2}g_{22}}{g} = \dfrac{\left( - \dfrac{h_{11}}{h} \right) h^{2}}{h^{2}} = - \dfrac{h_{11}}{h}$$

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