📂ヒルベルト空間

L²空間

定義¹

二乗収束する数列の集合を$\ell^{2}(\mathbb{N})$と表記する。

$$ \ell^{2}(\mathbb{N}) := \left\{ \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} : x \in \mathbb{C}(\text{or } \mathbb{R}),\quad \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \lt \infty \right\} $$

簡単に次のようにも表記する。

$$ \mathbf{x} = \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots) $$

説明

$\ell^{2}$空間は$\ell^{p}$空間が$p=2$の時の特別な場合で、$\ell^{p}$の中で唯一の内積空間だ。

性質

ベクトル空間$\ell^{2}$は

• ヒルベルト空間、つまり完備内積空間だ。内積は次のように与えられる。 $$ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} := \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}} $$
• バナッハ空間、つまり完備ノルム空間だ。ノルムは次のように与えられる。 $$ \left\| \mathbf{x} \right\|_{2} := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}} $$
• 距離空間だ。距離は次のように与えられる。 $$ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} - y_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|_{2} = \sqrt{\braket{\mathbf{x} - \mathbf{y}, \mathbf{x} - \mathbf{y}}} $$
• コーシー・シュワルツの不等式が成立する。 $$ \left| \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \right| = \left| \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}} \right|^{2} \le \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right) \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| y_{k} \right|^{2} \right) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}^{\frac{1}{2}} \braket{\mathbf{y}, \mathbf{y}}^{\frac{1}{2}} $$

定理

• 全ての無限次元可分ヒルベルト空間$H$は$\ell^{2}$と等距離同型である。
• ヒルベルト空間$H$への有界線形作用素$T$とその随伴作用素$T^{\ast}$は次の通りである。 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$が$H$の数列の時、 $$ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}, \qquad T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$