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신호의 자기상관함수

신호의 자기상관함수

定義1

  • アナログ信号

    エネルギー信号 f∈L2(R)f \in L^{2}(\mathbb{R})に関して、次のように定義されたRfR_{f}を自己相関関数auto-correlation functionという。

    Rf(τ):=∫−∞∞f(t)‾f(t+τ)dt R_{f}(\tau) := \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt

    このとき、f(t)‾\overline{f(t)}はf(t)f(t)の共役複素数である。

  • デジタル信号

    エネルギー信号{xn}∈ℓ2\left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{2}の自己相関関数を次のように定義する。

    Rx(m):=∑n∈Nxn‾xn+m R_{x}(m) := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \overline{x_{n}}x_{n+m}

説明

内積で表すと次のようになる。ffのトランスレーションを簡単にf−τ=T−τff_{-\tau} = T_{-\tau}fと表記すると、

Rf(τ)=⟨f,T−τf⟩=⟨f,f−τ⟩ R_{f}(\tau) = \braket{f, T_{-\tau}f} = \braket{f, f_{-\tau}}

自己相関関数は信号ffとf−τf_{-\tau}の間の類似性に対する尺度である。L2L^{2}空間の距離をd(f,g)=∥f−g∥2=⟨f−g,f−g⟩d(f,g) = \left\| f - g \right\|_{2} = \sqrt{\braket{f-g, f-g}}とすると、

d(f,f−τ)2=⟨f−f−τ,f−f−τ⟩=⟨f,f⟩−⟨f,f−τ⟩−⟨f−τ,f⟩+⟨f−τ,f−τ⟩=∥f∥2−⟨f,f−τ⟩−⟨f,f−τ⟩‾+∥f−τ∥=2∥f∥2−2ℜ⟨f,f−τ⟩=2∥f∥2−2ℜ(Rf(τ)) \begin{align*} d(f, f_{-\tau}) ^{2} &= \braket{f-f_{-\tau}, f-f_{-\tau}} \\ &= \braket{f, f} - \braket{f, f_{-\tau}} - \braket{f_{-\tau}, f} + \braket{f_{-\tau}, f_{-\tau}} \\ &= \left\| f \right\|_{2} - \braket{f, f_{-\tau}} - \overline{\braket{f, f_{-\tau}}} + \left\| f_{-\tau} \right\| \\ &= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \braket{f, f_{-\tau}} \\ &= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \left( R_{f}(\tau) \right) \end{align*}

だから、Rf(τ)R_{f}(\tau)の値が大きくなるとffとf−τf_{-\tau}の間のギャップが縮まり、値が小さくなるとギャップが大きくなる。

定理

アナログ信号f∈L2(R)f \in L^{2}(\mathbb{R})に関して、次が成立する。

Sf(ω)=∫−∞∞Rf(τ)e−iωτdτ=Rf^(ω) S_{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau = \hat{R_{f}}(\omega)

このとき、Sf(ω)S_{f}(\omega)はffのエネルギースペクトル密度、Rf^\hat{R_{f}}はRfR_{f}のフーリエ変換である。

証明

変数を適当に置換すれば簡単に示せる。 Rf^(ω)=∫−∞∞Rf(τ)e−iωτdτ=∫−∞∞∫−∞∞f(t)‾f(t+τ)dte−iωτdτ=∫−∞∞f(t)‾∫−∞∞f(t+τ)e−iωτdτdt=∫−∞∞f(t)‾∫−∞∞f(τ′)e−iω(τ′−t)dτ′dt(τ′=t+τ)=∫−∞∞f(t)‾∫−∞∞f(τ′)e−iωτ′dτ′eiωtdt=∫−∞∞f(t)‾f^(ω)eiωtdt=f^(ω)∫−∞∞f(t)‾eiωtdt=f^(ω)∫−∞∞f(t)e−iωtdt‾=f^(ω)f^(ω)‾=∣f^(ω)∣2=Sf(ω) \begin{align*} \hat{R_{f}}(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(t + \tau) e^{-i\omega \tau} d\tau dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega (\tau^{\prime} - t)} d\tau^{\prime} dt \qquad (\tau^{\prime} = t + \tau) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega \tau^{\prime}} d\tau^{\prime} e^{i\omega t}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t}dt \\ &= \hat{f}(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} e^{i\omega t}dt \\ &= \hat{f}(\omega) \overline{\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt} \\ &= \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} \\ &= | \hat{f}(\omega) |^{2} \\ &= S_{f}(\omega) \end{align*}

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関連項目

確率過程

  1. 최병선, Wavelet 해석 (2001) p23 ↩︎