신호의 자기상관함수

定義¹

• アナログ信号

  エネルギー信号 $f \in L^{2}(\mathbb{R})$に関して、次のように定義された$R_{f}$を自己相関関数^{auto-correlation function}という。

  $$ R_{f}(\tau) := \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt $$

  このとき、$\overline{f(t)}$は$f(t)$の共役複素数である。

• デジタル信号

  エネルギー信号$\left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{2}$の自己相関関数を次のように定義する。

  $$ R_{x}(m) := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \overline{x_{n}}x_{n+m} $$

説明

内積で表すと次のようになる。$f$のトランスレーションを簡単に$f_{-\tau} = T_{-\tau}f$と表記すると、

$$ R_{f}(\tau) = \braket{f, T_{-\tau}f} = \braket{f, f_{-\tau}} $$

自己相関関数は信号$f$と$f_{-\tau}$の間の類似性に対する尺度である。$L^{2}$空間の距離を$d(f,g) = \left\| f - g \right\|_{2} = \sqrt{\braket{f-g, f-g}}$とすると、

$$ \begin{align*} d(f, f_{-\tau}) ^{2} &= \braket{f-f_{-\tau}, f-f_{-\tau}} \\ &= \braket{f, f} - \braket{f, f_{-\tau}} - \braket{f_{-\tau}, f} + \braket{f_{-\tau}, f_{-\tau}} \\ &= \left\| f \right\|_{2} - \braket{f, f_{-\tau}} - \overline{\braket{f, f_{-\tau}}} + \left\| f_{-\tau} \right\| \\ &= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \braket{f, f_{-\tau}} \\ &= 2\left\| f \right\|_{2} - 2 \Re \left( R_{f}(\tau) \right) \end{align*} $$

だから、$R_{f}(\tau)$の値が大きくなると$f$と$f_{-\tau}$の間のギャップが縮まり、値が小さくなるとギャップが大きくなる。

定理

アナログ信号$f \in L^{2}(\mathbb{R})$に関して、次が成立する。

$$ S_{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau = \hat{R_{f}}(\omega) $$

このとき、$S_{f}(\omega)$は$f$のエネルギースペクトル密度、$\hat{R_{f}}$は$R_{f}$のフーリエ変換である。

証明

変数を適当に置換すれば簡単に示せる。 $$ \begin{align*} \hat{R_{f}}(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} R_{f}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} f(t + \tau) dt e^{-i\omega \tau} d\tau \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(t + \tau) e^{-i\omega \tau} d\tau dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega (\tau^{\prime} - t)} d\tau^{\prime} dt \qquad (\tau^{\prime} = t + \tau) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau^{\prime}) e^{-i\omega \tau^{\prime}} d\tau^{\prime} e^{i\omega t}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t}dt \\ &= \hat{f}(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} e^{i\omega t}dt \\ &= \hat{f}(\omega) \overline{\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}dt} \\ &= \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} \\ &= | \hat{f}(\omega) |^{2} \\ &= S_{f}(\omega) \end{align*} $$

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関連項目

• コンボリューション
• 自己相関関数
• 交差相関関数

確率過程

• 確率過程の自己相関関数
• 確率過程の交差相関関数