신호의 에너지와 평균 전력

定義¹

アナログ信号

アナログ信号 $f \in L^{p}$のエネルギー^energy $E_{f}$を次のように定義する。

$$ E_{f} := \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) \right|^{2} dt = \left\| f \right\|_{2}^{2} $$

$E_{f} \lt \infty$のとき、$f$をエネルギー信号^{energy signal}と呼ぶ。エネルギー信号でない$f$に対して、平均電力^{mean power} $P_{f}$を次のように定義する。

$$ P_{f} := \lim\limits_{T \to \infty} \dfrac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left| f(t) \right|^{2}dt $$

$P_{f} \lt \infty$のとき、$f$を電力信号^{power signal}と呼ぶ。

デジタル信号

デジタル信号 $x_{n} = \left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{p}$のエネルギー $E_{x_{n}}$を次のように定義する。 $$ E_{x_{n}} := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \left| x_{n} \right|^{2} = \left\| x_{n} \right\|_{2}^{2} $$

$E_{x_{n}} \lt \infty$のとき、$x_{n}$をエネルギー信号と呼ぶ。エネルギー信号でない$x_{n}$に対して、平均電力 $P_{x_{n}}$を次のように定義する。

$$ P_{x_{n}} := \lim\limits_{T \to \infty} \dfrac{1}{T} \sum\limits_{n=1}^{T} \left| x_{n} \right|^{2} $$

$P_{x_{n}} \lt \infty$のとき、$x_{n}$を電力信号と呼ぶ。

説明

言い換えれば$L^{2}$ / $\ell^{2}$空間の要素をエネルギー信号と呼び、エネルギー信号の$2$-ノルム $\left\| \cdot \right\|_{2}$をエネルギーと呼ぶ。エネルギーが$2$-ノルムであるため、プランシュレルの定理から次のことを得る。

プランシュレルの定理

$$\| \hat{f} \|_{2}^{2} = 2\pi \| f \|_{2}^{2}$$

$\hat{f}$を$f$のフーリエ変換とすれば、

$$ E_{f} = \int \left| f(t) \right|^{2} dt = \dfrac{1}{2\pi} \int | \hat{f}(\omega) |^{2} d\omega $$

このとき、$| \hat{f}(\omega) |^{2}$を$f$のエネルギースペクトル（密度）^{energy spectrum (density)}と呼び、次のように表記する。

$$ S_{f}(\omega) = S_{ff}(\omega) := | \hat{f}(\omega) |^{2} $$