アナログ信号とデジタル信号の定義

定義¹

$L^{p}$空間の元をアナログ信号^{analog signal}あるいは連続時間信号^{continuous-time signal}という。

$$ f \in L^{p}(\mathbb{R}) $$

$\ell^{p}$空間の元をデジタル信号^{digital signal}あるいは離散時間信号^{discrete-time signal}という。

$$ x_{n} = \left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{p}(\mathbb{N}) $$

説明

定義により、アナログ信号とデジタル信号はほとんど同じ特徴を持ち、この二つの違いは関数か数列かという程度でしかない。ちなみに、アナログ信号の別名が連続時間信号だからといって、これが連続関数であるという意味ではない。定義域である時間$t \in \mathbb{R}$が連続的であるという意味である。同様に、離散時間信号における離散というのも、信号の定義域である時間を修飾する言葉である(この場合はもちろん値も離散的である)。

デジタル信号はしばしば$x[n] = x_{n}$のように表記され、そのフーリエ変換は大文字で$X[n] = \hat{x}$のように表記される。また、変数が丸括弧で表示されていればアナログ信号、角括弧で表示されていればデジタル信号を意味する。

$$ アナログ信号\ f(t) \qquad デジタル信号\ f[n] $$

信号の集合がそれぞれ$L^{p}$、$\ell^{p}$であるため、信号のノルムがよく定義される。特に信号処理^{signal processing}の分野では、信号の$2$-ノルムはエネルギーという名前で呼ばれる。