絶対連続実関数
定義1
関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\text{または } \mathbb{C})$ が与えられたとする。$f$が任意の有限個の互いに素な区間 $(a_{i}, b_{i}) \subset [a,b]$に対しても以下の条件を満たす場合、$[a, b]$ 上で 絶対連続absolutely continuousと言われる。
$$ \forall \epsilon \gt 0 \quad \exist \delta \gt 0 \text{ such that } \sum\limits_{i=1}^{N} (b_{i} - a_{i}) \lt \delta \implies \sum\limits_{i=1}^{N} \left| f(b_{j}) - f(a_{j}) \right| \lt \epsilon $$
説明
定義により、絶対連続であれば一様連続でもある。
性質
$f$が微分可能であり、導関数 $f’$ が有界であれば、$f$は絶対連続である。
参照
Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p105 ↩︎