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逆三角関数のarc表記法の由来 📂関数

逆三角関数のarc表記法の由来

定義

三角関数の逆関数を逆三角関数inverse trigonometric functionと呼ぶ。

説明

逆三角関数は基本的に使われる逆関数の表記方法としてsin⁡−1\sin^{-1}、cos⁡−1\cos^{-1}のように表記されるが、接頭語arc-を付けてarcsin⁡\arcsin、arccos⁡\arccosと表記されることが多い。

arcsin⁡x=sin⁡−1xarccsc⁡x=csc⁡−1xarccos⁡x=cos⁡−1xarcsec⁡x=sec⁡−1xarctan⁡x=tan⁡−1xarccot⁡x=cot⁡−1x \begin{align*} \arcsin x &= \sin^{-1} x \qquad & \operatorname{arccsc} x &= \csc^{-1} x \\ \arccos x &= \cos^{-1} x \qquad & \operatorname{arcsec} x &= \sec^{-1} x \\ \arctan x &= \tan^{-1} x \qquad & \operatorname{arccot} x &= \cot^{-1} x \end{align*}

ここでarcはarcまたはarc length、つまり弧の長さを意味する。

sin⁡θ=x  ⟺  arcsin⁡x=θ \sin\theta = x \iff \arcsin x = \theta

三角関数の名前は単位円上での幾何学的な特性から取られることが多い。この場合も同様であり、半径が11の単位円を考えると、θ=rℓ\theta = r\ellからθ=ℓ\theta = \ellとなるため、角度と円弧の長さが同じである。したがって、arcsin⁡x\arcsin xは単位円内で高さがxxの直角三角形が作る円弧の長さとなるため、arcという名前が付けられた。