逆三角関数のarc表記法の由来
定義
三角関数の逆関数を逆三角関数inverse trigonometric functionと呼ぶ。
説明
逆三角関数は基本的に使われる逆関数の表記方法として$\sin^{-1}$、$\cos^{-1}$のように表記されるが、接頭語arc-を付けて$\arcsin$、$\arccos$と表記されることが多い。
$$ \begin{align*} \arcsin x &= \sin^{-1} x \qquad & \operatorname{arccsc} x &= \csc^{-1} x \\ \arccos x &= \cos^{-1} x \qquad & \operatorname{arcsec} x &= \sec^{-1} x \\ \arctan x &= \tan^{-1} x \qquad & \operatorname{arccot} x &= \cot^{-1} x \end{align*} $$
ここでarcはarcまたはarc length、つまり弧の長さを意味する。
$$ \sin\theta = x \iff \arcsin x = \theta $$
三角関数の名前は単位円上での幾何学的な特性から取られることが多い。この場合も同様であり、半径が$1$の単位円を考えると、$\theta = r\ell$から$\theta = \ell$となるため、角度と円弧の長さが同じである。したがって、$\arcsin x$は単位円内で高さが$x$の直角三角形が作る円弧の長さとなるため、arcという名前が付けられた。