📂偏微分方程式

双曲型偏微分方程式

定義^{1 2}

$u(t,x)$に関する以下の2階線型偏微分方程式を考える。

$$Au_{tt} + Bu_{tx} + Cu_{xx} + Du_{t} + Eu_{x} + Fu + G = 0\qquad (ABC \ne 0) \tag{1}$$

ここで、係数$A, \dots, G$は$(t,x)$の関数だ。$\Delta = B^{2} - 4AC$を判別式^discriminantという。判別式が正の偏微分方程式$(1)$を双曲線型偏微分方程式^{hyperbolic PDE}という。

$$(1) \text{ is called hyperbolic, if } \Delta (t,x) \gt 0.$$

説明

実際には、双曲線型偏微分方程式と言うことはほとんどなく、一般にはその音訳であるハイパボリックPDEと呼ぶ。名前の由来はもちろん双曲線から来ている。

二次曲線$Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$が$B^{2} - 4AC \gt 0$を満たせば、双曲線だ。

狭い意味では、波動方程式を意味する。

$$u_{tt} - \Delta u = 0 \qquad (\Delta = 0^{2} - 4(1)(-1) = 4)$$