logo

ルジンの定理 📂測度論

ルジンの定理

定理 1

f:ERf : E \to \mathbb{R}測度集合上に定義されたルベーグ可測関数としよう。そうすると、与えられた正の数ϵ>0\epsilon \gt 0に対して、以下を満たす測度集合ARA \subset \mathbb{R}が存在する。

m(A)ϵ and g=fEA is continuous. m(A) \le \epsilon \quad \text{ and } \quad g = f|_{E\setminus A} \text{ is continuous.}

ここで、mmルベーグ測度である。

一般化2

ffが可測関数であり、ARnA \subset \mathbb{R}^{n}に対してμ(A)<\mu (A) \lt \inftyかつf(x)=0 for xAcf(x) = 0 \text{ for } x \in A^{c}であるとする。そうすると、与えられたϵ>0\epsilon \gt 0に対して、次を満たすgg \inCc(Rn)C_{c}(\mathbb{R}^{n})が存在する。

supxRng(x)supxRnf(x) and μ({xRn:f(x)g(x)})<ϵ \sup\limits_{x\in \mathbb{R}^{n}} g(x) \le \sup\limits_{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x) \quad \text{ and } \quad \mu \left( \left\{ x \in \mathbb{R}^{n} : f(x) \ne g(x) \right\} \right) \lt \epsilon

説明

これをルジンの定理Lusin’s theoremという。簡単に言えば、可測関数ffと殆ど同じ連続関数ggが存在する。エゴロフの定理に依存しない証明を紹介する。証明には位相数学が使われる。

証明

実数空間は第二可算であるため、{Uj}\left\{ U_{j} \right\}R\mathbb{R}の標準位相の可算基底とする。そして、UjU^{j}を次を満たす開集合とする。

f1(Uj)Uj and m(Ujf1(Uj))<ϵ2j f^{-1}(U_{j}) \subset U^{j} \quad \text{ and } \quad m(U^{j}\setminus f^{-1}(U_{j})) \lt \dfrac{\epsilon}{2^{j}}

ここで、f1(Uj)f^{-1}(U_{j})UjU_{j}プレイメージである。そして、A=j=1(Ujf1(Uj))A = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} \left( U^{j} \setminus f^{-1}(U_{j}) \right)とする。そうすると、m(A)<ϵm(A) \lt \epsilonが成立する。

m(A)<ϵj=112j<ϵ m(A) \lt \epsilon \sum\limits_{j=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{j}} \lt \epsilon

これで、g=fEAg = f|_{E\setminus A}連続であることだけを示せば良い。これを示すために、次が成立すると仮定する(実際に成立することは後で示す)。

g1(Uj)=Uj(EA)(1) g^{-1}(U_{j}) = U^{j} \cap \left( E \setminus A \right) \tag{1}

今、URU \subset \mathbb{R}を開集合とすると、{Uj}\left\{ U_{j} \right\}基底であるため、U=jMUjU = \bigcup_{j \in M} U_{j}を満たすMMが存在する。すると、(1)(1)により次が成り立つ。

g1(U)=g1(jMUj)=jMg1(Uj)=(jMUj)(EA) g^{-1}(U) = g^{-1} \bigg( \bigcup_{j \in M} U_{j} \bigg) = \bigcup_{j \in M} g^{-1} \left( U_{j} \right) =\bigg( \bigcup_{j \in M} U^{j} \bigg) \cap \left( E \setminus A \right)

開集合の合併は開集合であるため、右辺はEAE\setminus Aから開集合である。従って、g1(U)g^{-1}(U)は開集合である。連続関数の同値条件によれば、全ての開集合URU \subset \mathbb{R}に対してg1(U)g^{-1}(U)が開集合であるので、ggは連続である。さて、(1)(1)の証明を終わらせよう。g1(Uj)Uj(EA)g^{-1}(U_{j}) \subset U^{j} \cap \left( E \setminus A \right)は定義により自明である。逆方向の包含関係は、次の式から得られる。

Uj(EA)  Uj(E[Ujf1(Uj)])=Uj(E[Ujf1(Uj)]c)=UjE[Ujf1(Uj)]c=UjE[(Uj)cf1(Uj)]=UjEf1(Uj)=Ujf1(Uj)=f1(Uj) \begin{align*} U^{j} \cap (E \setminus A)\ \subset\ U^{j} \cap \left( E \setminus [U^{j} \setminus f^{-1}(U_{j})]\right) &= U^{j} \cap \left( E \cap [U^{j} \setminus f^{-1}(U_{j})]^{c}\right) \\ &= U^{j} \cap E \cap [U^{j} \setminus f^{-1}(U_{j})]^{c} \\ &= U^{j} \cap E \cap [ (U^{j})^{c} \cup f^{-1}(U_{j}) ] \\ &= U^{j} \cap E \cap f^{-1}(U_{j}) \\ &= U^{j} \cap f^{-1}(U_{j}) \\ &= f^{-1}(U_{j}) \\ \end{align*}

最初の等号はAB=ABcA \setminus B = A \cap B^{c}により、三番目の等号は(AB)c=AcB(A \setminus B)^{c} = A^{c} \cup Bにより成立する。両側にEA\cap E \setminus Aを適用すると、次を得る。

Uj(EA)g1(Uj) U^{j} \cap (E \setminus A) \subset g^{-1}(U_{j})


  1. Feldman, Marcus B. A proof of Lusin’s theorem The American Mathematical Monthly 88.3 (1981): 191-192. ↩︎

  2. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p15 ↩︎