ルジンの定理
📂測度論ルジンの定理
定理
f:E→Rを測度集合上に定義されたルベーグ可測関数としよう。そうすると、与えられた正の数ϵ>0に対して、以下を満たす測度集合A⊂Rが存在する。
m(A)≤ϵ and g=f∣E∖A is continuous.
ここで、mはルベーグ測度である。
一般化
fが可測関数であり、A⊂Rnに対してμ(A)<∞かつf(x)=0 for x∈Acであるとする。そうすると、与えられたϵ>0に対して、次を満たすg∈Cc(Rn)が存在する。
x∈Rnsupg(x)≤x∈Rnsupf(x) and μ({x∈Rn:f(x)=g(x)})<ϵ
説明
これをルジンの定理Lusin’s theoremという。簡単に言えば、可測関数fと殆ど同じ連続関数gが存在する。エゴロフの定理に依存しない証明を紹介する。証明には位相数学が使われる。
証明
実数空間は第二可算であるため、{Uj}をRの標準位相の可算基底とする。そして、Ujを次を満たす開集合とする。
f−1(Uj)⊂Uj and m(Uj∖f−1(Uj))<2jϵ
ここで、f−1(Uj)はUjのプレイメージである。そして、A=j=1⋃∞(Uj∖f−1(Uj))とする。そうすると、m(A)<ϵが成立する。
m(A)<ϵj=1∑∞2j1<ϵ
これで、g=f∣E∖Aが連続であることだけを示せば良い。これを示すために、次が成立すると仮定する(実際に成立することは後で示す)。
g−1(Uj)=Uj∩(E∖A)(1)
今、U⊂Rを開集合とすると、{Uj}が基底であるため、U=⋃j∈MUjを満たすMが存在する。すると、(1)により次が成り立つ。
g−1(U)=g−1(j∈M⋃Uj)=j∈M⋃g−1(Uj)=(j∈M⋃Uj)∩(E∖A)
開集合の合併は開集合であるため、右辺はE∖Aから開集合である。従って、g−1(U)は開集合である。連続関数の同値条件によれば、全ての開集合U⊂Rに対してg−1(U)が開集合であるので、gは連続である。さて、(1)の証明を終わらせよう。g−1(Uj)⊂Uj∩(E∖A)は定義により自明である。逆方向の包含関係は、次の式から得られる。
Uj∩(E∖A) ⊂ Uj∩(E∖[Uj∖f−1(Uj)])=Uj∩(E∩[Uj∖f−1(Uj)]c)=Uj∩E∩[Uj∖f−1(Uj)]c=Uj∩E∩[(Uj)c∪f−1(Uj)]=Uj∩E∩f−1(Uj)=Uj∩f−1(Uj)=f−1(Uj)
最初の等号はA∖B=A∩Bcにより、三番目の等号は(A∖B)c=Ac∪Bにより成立する。両側に∩E∖Aを適用すると、次を得る。
Uj∩(E∖A)⊂g−1(Uj)
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