📂レンマ

数学における弱いと強いの意味

説明

数学では、weakとは「（論理的に）緩い、あまり厳密ではない、あまり厳格ではない」という意味を持っている。もっともっと少ないということは相対的にそうだという意味だ。逆に、strongとは条件が（相対的に）厳格だという意味を持つ。

簡単に言えば、weakは「事実上、正直に」と翻訳すればいい。大学入学試験の成績を例に取れば、点数の上位累積4%までが1等を与えられる。厳密に、正確に^strongly言えば、4%までしか1等ではないのが正しく、成績表もそうなっている。しかし、私のパーセンタイルが4.05%であれば、成績表には2等が表示されるだろうが、事実上^weakly 1等だと言ってもいいのではないか？公式^stronglyにはそうではないが、正直^weaklyに言えば、1等と言っても全く嘘ではないと見ることができる。この観点から、上位4.05%にいる生徒をweak 1等と呼ぶことができる。

weak derivative

説明の通り、weak derivativeは「事実上の導関数」である。次の二つの関数を見よ。$x \in \mathbb{R}$に対して、

$$u(x) = |x| \quad \text{and} \quad v(x) = \begin{cases} 1, & 0 \lt x \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x \lt 0 \end{cases}$$

よく知られているように、$u$は$x = 0$で微分できないため、$\mathbb{R}$上で定義された$u$の導関数は存在しない。しかし、$v$を見れば、$x \ne 0$のすべての点で$u^{\prime}(x) = v(x)$を満たす。あなたが$v$だったら、実数空間のたった一つの点$x = 0$の値のために導関数の地位を得られないのはあまりにも不公平ではないだろうか？そこで、$v$を$u$の「事実上の導関数^{weak derivative}」と呼んで慰めるのである。