📂偏微分方程式

放物線型偏微分方程式

定義^{1 2}

以下の$u(t,x)$についての2階線形偏微分方程式について考えよう。

$$ Au_{tt} + Bu_{tx} + Cu_{xx} + Du_{t} + Eu_{x} + Fu + G = 0\qquad (ABC \ne 0) \tag{1} $$

ここで、係数$A, \dots, G$は$(t,x)$の関数である。$\Delta = B^{2} - 4AC$を判別式と言う。判別式が$0$である偏微分方程式$(1)$を放物型偏微分方程式と呼ぶ。

$$ (1) \text{ is called parabolic, if } \Delta (t,x) = 0. $$

説明

実際に放物型偏微分方程式と呼ぶことは稀で、一般には[パラボリックPDE]と単に呼ばれる。名前の由来はもちろん放物線からである。

二次曲線$Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$が$B^{2} - 4AC = 0$を満たす時、それは放物線である。

狭義では、熱方程式を指す。

$$ u_{t} - \Delta u = 0 \qquad (\Delta = 0^{2} - 4(0)(-1) = 0) $$