二つのエルミート演算子の積がエルミート演算子になる条件
整理
二つの演算子 $A$, $B$がエルミート演算子だとする。 $A$, $B$が可換であれば $AB$もエルミート演算子$Hermitian operator이다. 역도 성립한다.
설명
역의 대우를 생각해보면 교환 가능하지 않은 두 연산자를 곱하면 에르미트 연산자가 아니라는 것을 알 수 있다. 즉 다음이 모두 성립한다.
- 정리: 두 에르미트 연산자 $A,B$가 교환가능하면, $AB$도 에르미트 연산자이다.
- 역: $AB$가 에르미트 연산자면, $A$와 $B$는 교환가능하다.
- 이: 두 에르미트 연산자 $A, B$가 교환가능하지 않으면, $AB$는 에르미트가 아니다.
증명
$AB$가 에르미트 연산자임을 보이려면 $(AB)^{\dagger} = AB$임을 보이면 된다. $AB$는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} && [A, B] &= AB - BA \\ \implies && AB &= BA + [A, B] \end{align*} $$
$(AB)^{\dagger}$를 계산해보면 다음과 같다.
$$ (AB)^{\dagger} = (BA + [A, B])^{\dagger} = (BA)^{\dagger} + [A,B]^{\dagger} = AB + [A,B]^{\dagger} $$
가정에 의해 $AB = BA$이므로, $[A,B]^{\dagger} = 0$이면 $(AB)^{\dagger} = AB$이다. 따라서 $[A,B]=0$ 이면 $[A,B]^{\dagger} = 0$이고 $AB$는 에르미트 연산자이다.
■
역
$A,B$가 에르미트 연산자이므로 $(AB)^{\dagger}=B^{\dagger} A^{\dagger} = BA$이다. 이 때 $AB$가 에르미트 연산자이면 다음이 성립한다.
$$ (AB)^{\dagger} = AB $$
따라서 $AB=BAだ。
■