📂線形代数

線形変換の和とスカラー倍の行列表現

定理

$V, W$を与えられた順序基底 $\beta, \gamma$がある有限次元 ベクトル空間だとしよう。そして、$T, U : V \to W$だとしよう。すると、次が成り立つ。$\\[0.5em]$

• $[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}$

• $[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}$

この時、$[T]_{\beta}^{\gamma}$は$T$の行列表現である。

証明

二つの証明が似ているので、最初の等式だけ証明する。$\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$で、そして$\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$だとする。すると、基底表現の一意性により、次を満たすスカラ $a_{ij}, b_{ij}$が一意に存在する。

$$T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} \quad \text{and} \quad U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i}$$

従って、

$$(T + U)(\mathbf{v}_{j}) = T(\mathbf{v}_{j}) + U(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} + \sum_{i=1}^{m}b_{ij}\mathbf{w}_{i} = \sum_{i=1}^{m}(a_{ij} + b_{ij})\mathbf{w}_{i}$$

だから、

$$([T + U]_{\beta}^{\gamma})_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = ([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij} + ([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij}$$

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