マシンラーニングにおけるワンホットエンコーディングとは？
定義
集合$X \subset \mathbb{R}^{n}$の部分集合$X_{i}$が次を満たすとしよう。
$$ X = X_{1} \cup \cdots \cup X_{N} \quad \text{and} \quad X_{i} \cap X_{j} = \varnothing \enspace (i \ne j) $$
$\beta = \left\{ e_{1}, \dots, e_{N} \right\}$を$\mathbb{R}^{N}$の標準基底と言おう。そうすると、次の関数、または$x \in X$をマッピングするそれ自体を**ワンホットエンコーディング**と言う。
$$ \begin{align*} f : X &\to \beta \\ x &\mapsto e_{i} \text{ if } x \in X_{i} \end{align*} $$
説明
機械学習でデータにラベルを付けるときによく使われる方法だ。特定の一つの成分にだけ$0$非ゼロの値があるため、ワンホットと呼ばれる。このようにマッピングする理由は、データのラベルを量的変数ではなく質的変数として扱うためである。例えば、服の写真に$[1]$をラベルとして、靴の写真に$[2]$をラベルとして付けるとする。実際には２つの写真の間に$2$倍という意味はないにも関わらず、そのような意味がラベルで表される。また、予測値が$[5]$であれば、それを$[1]$よりは$[2]$に近いと言うべきか、予測を失敗したと言うべきかあいまいになる。だから、代わりに$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$のようなラベルを使って、意図しない意味が付与されないようにし、意図した範囲内でのみ値を得るようにする。したがって、$N = \left| \beta \right|$はデータを分類したいクラスの数を表す。
例えば、MNIST データをワンホットエンコーディングすることは次のようになる。
$$ \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FdgvulP%2FbtrRTtjz8Ah%2FIKWA7Ckzkjitj5X6vwd11k%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FchjNBz%2FbtrRW0nrB59%2FwUVzGwFGvVIA9iemnOmkN1%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FbRAv7N%2FbtrRWLjvZku%2FCLGtZLlkuC7fKZlSZlr2u1%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2F9YZyq%2FbtrRSPtGAii%2F2N3tRn9bhQhLbs0l0OKxT0%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FcJpInQ%2FbtrRWZaZ4Bo%2FwE0wwSOxZZ7wrwKqCFQbA1%2Fimg.jpg}, \raisebox{0.5em}{$\enspace \cdots \enspace \mapsto e_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}^{T}$} $$
$$ \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FrV2Hd%2FbtrRXuocv2o%2FEP2Tt3R7Vft3dPucw5iJz1%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FVQWMs%2FbtrRXfLytuV%2FxvEuEznI71CnPBD0fNEHmk%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FbbvAq2%2FbtrRTtYkr1S%2FA45KGWUNxA2IT2mqeBVqWK%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2Ftf6ng%2FbtrRXvm3jcc%2FzQouozMFozW7Eiq3Dsqqe0%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FT2gLG%2FbtrRYyJ8alW%2FIqmmahDUmM1yXhAXmg2MWK%2Fimg.jpg}, \raisebox{0.5em}{$\enspace \cdots \enspace \mapsto e_{2} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}^{T}$} $$
$$ \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FppAxy%2FbtrRTtxgxbr%2F4cfRUjLAzD5TzsDopAkKt0%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FwwRei%2FbtrRVK6oKTc%2FISAO9LE6Qc4j5KglwxV0K0%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FboTCrt%2FbtrRX2EGFT7%2F4SkN8ZDSHTS57Nf2CpIiz1%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FxxZzL%2FbtrRVLjYEDk%2F5eQyGDM6bNjq4KNrmPltb1%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FxxZzL%2FbtrRVLjYEDk%2F5eQyGDM6bNjq4KNrmPltb1%2Fimg.jpg}, \raisebox{0.5em}{$\enspace \cdots \enspace \mapsto e_{3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\end{bmatrix}^{T}$} $$
$$\vdots$$
$$ \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FbRSmNg%2FbtrRTtxgz8s%2FjpZ5TGHy9d6JKjTob92PA0%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FbcVpNY%2FbtrRXDE9s9S%2Fka5hNQVMgXgn8kyPD5ZBG0%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2Fc7gcV8%2FbtrRX1lvvbZ%2FeSuCvSRoHs3scKOvfer3n1%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FNWuc9%2FbtrRX1MyDYL%2F4c0G8AJknZoDGe9zdwuBVk%2Fimg.jpg}, \includegraphics[height=2em]{https://img1.daumcdn.net/thumb/R1280x0/?scode=mtistory2&fname=https%3A%2F%2Fblog.kakaocdn.net%2Fdn%2FmG3XY%2FbtrRXGhClhU%2FsDgIVjw4Kq4KWl5PPcXyyK%2Fimg.jpg}, \raisebox{0.5em}{$\enspace \cdots \enspace \mapsto e_{10} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}^{T}$} $$