量子フレドキン/CSWAPゲート

定義¹

(古典的フレドキンゲート の定義から) $3$キュービット に対して 量子トフォリゲート^{quantum Toffoli gate} を次のように定義する。

$$ \begin{align*} F_{q} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3} \\ \ket{a, b, c} &\mapsto \ket{a, (\lnot a \land b) \lor (a \land c), (\lnot a \land c) \lor (a \land b)},\quad \forall a,b,c \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*} $$

$$ F_{q}(\ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}) = \ket{a} \otimes \ket{(\lnot a \land b) \lor (a \land c)} \otimes \ket{(\lnot a \land c) \lor (a \land b)} $$

ここで、$(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3}$は ベクトル空間のテンソル積、$\ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}$は 直積、$\land$は 論理積、$\lor$は 論理和、$\lnot$は 論理否定 である。

説明

古典的フレドキンゲートの量子コンピュータバージョンである。古典的フレドキンゲートが 汎用ゲート であるのに対して、量子フレドキンゲートは汎用ゲートではない。量子フレドキンゲートだけでなく、量子コンピューティングで汎用ゲートを見つけることはできない。

$F_{q}$の具体的な入出力は次の通りである。入力が $\ket{101}, \ket{110}$のときのみ、出力が変わる。

$$ F_{q} (\ket{000}) = \ket{0, (\lnot 0 \land 0) \lor (0 \land 0), (\lnot 0 \land 0) \lor (0 \land 0)} = \ket{000} \\[0.5em] F_{q} (\ket{001}) = \ket{0, (\lnot 0 \land 0) \lor (0 \land 1), (\lnot 0 \land 1) \lor (0 \land 0)} = \ket{001} \\[0.5em] F_{q} (\ket{010}) = \ket{0, (\lnot 0 \land 1) \lor (0 \land 0), (\lnot 0 \land 0) \lor (0 \land 1)} = \ket{010} \\[0.5em] F_{q} (\ket{011}) = \ket{0, (\lnot 0 \land 1) \lor (0 \land 1), (\lnot 0 \land 1) \lor (0 \land 1)} = \ket{011} \\[0.5em] F_{q} (\ket{100}) = \ket{1, (\lnot 1 \land 0) \lor (1 \land 0), (\lnot 1 \land 0) \lor (1 \land 0)} = \ket{100} \\[0.5em] F_{q} (\ket{101}) = \ket{1, (\lnot 1 \land 0) \lor (1 \land 1), (\lnot 1 \land 1) \lor (1 \land 0)} = \ket{110} \\[0.5em] F_{q} (\ket{110}) = \ket{1, (\lnot 1 \land 1) \lor (1 \land 0), (\lnot 1 \land 0) \lor (1 \land 1)} = \ket{101} \\[0.5em] F_{q} (\ket{111}) = \ket{1, (\lnot 1 \land 1) \lor (1 \land 1), (\lnot 1 \land 1) \lor (1 \land 1)} = \ket{111} $$

行列表現 は次のようである。

$$ F_{q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$