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キュービット：量子コンピュータにおける情報の基本単位

キュービット：量子コンピュータにおける情報の基本単位

양자정보이론
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定義1

C\mathbb{C} 上のベクトル空間 C2\mathbb{C}^{2}の二つの単位ベクトル[10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}、[01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}をディラック記法で以下のように表記しよう。

∣0⟩=[10]∣1⟩=[01] \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\qquad \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

集合{∣0⟩,∣1⟩}\left\{ \ket{0}, \ket{1} \right\}の要素を キュビットqubit、量子ビットと呼ぶ。

C2\mathbb{C}^{2}のnnテンソル積 (C2)⊗n=C2⊗⋯⊗C2⏞n\left( \mathbb{C}^{2} \right)^{\otimes n} = \overbrace{\mathbb{C}^{2} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{2}}^{n}の標準基底

{∣0⟩⊗⋯⊗∣0⟩,…,∣1⟩⊗⋯⊗∣1⟩} \left\{ \ket{0} \otimes \cdots \otimes \ket{0}, \dots, \ket{1} \otimes \cdots \otimes \ket{1} \right\}

の要素を nnキュビットnnqubitと呼ぶ。

説明

キュビットはquantum bitの略語です。ビットbitが古典コンピューターで情報処理の最小単位であるならば、キュビットは量子コンピューターでその役割を果たしている。

nnキュビットは次のように簡単に表示される。a=(a0,a1,…,an−1)∈{0,1}na = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}) \in \left\{ 0, 1 \right\}^{n}をnnビットと呼ぶならば、

∣a⟩=∣a0,a1,…,an−1⟩=∣a0a1…an−1⟩=∣a0⟩⊗∣a1⟩⊗⋯⊗∣an−1⟩ \begin{align*} \ket{a} &= \ket{a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0} a_{1} \dots a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0}} \otimes \ket{a_{1}} \otimes \cdots \otimes \ket{a_{n-1}} \end{align*}

例：(C2)⊗2(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}

最も簡単な例として(C2)⊗2=C2⊗C2≅C4(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2} = \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \cong \mathbb{C}^{4}の場合を具体的に見よう。22キュビットは次のように表記される。

∣00⟩=∣0,0⟩=∣0⟩⊗∣0⟩,∣01⟩=∣0,1⟩=∣0⟩⊗∣1⟩∣10⟩=∣1,0⟩=∣1⟩⊗∣0⟩,∣11⟩=∣1,1⟩=∣1⟩⊗∣1⟩ \ket{00} = \ket{0,0} = \ket{0} \otimes \ket{0},\qquad \ket{01} = \ket{0,1} = \ket{0} \otimes \ket{1} \\ \ket{10} = \ket{1,0} = \ket{1} \otimes \ket{0},\qquad \ket{11} = \ket{1,1} = \ket{1} \otimes \ket{1}

それぞれの22キュビットを行列で表すと、クロネッカー積の定義に従って次の通りである。

∣00⟩=∣0⟩⊗∣0⟩=[10]⊗[10]=[1[10]0[10]]=[1000]∣01⟩=∣0⟩⊗∣1⟩=[10]⊗[01]=[1[01]0[01]]=[0100]∣10⟩=∣1⟩⊗∣0⟩=[01]⊗[10]=[0[10]1[10]]=[0010]∣11⟩=∣1⟩⊗∣1⟩=[01]⊗[01]=[0[01]1[01]]=[0001] \begin{align*} \ket{00} &= \ket{0} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{01} &= \ket{0} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{10} &= \ket{1} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{11} &= \ket{1} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}

したがって⟨ik∣jl⟩=δijδkl\braket{ik | jl} = \delta_{ij}\delta_{kl}である。このときδ\deltaはクロネッカーデルタである。任意の(C2)⊗2(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}の要素は次のようである。

(α0∣0⟩+α1∣1⟩)⊗(β0∣0⟩+β1∣1⟩)=α0β0∣0⟩⊗∣0⟩+α0β1∣0⟩⊗∣1⟩+α1β0∣1⟩⊗∣0⟩+α1β1∣1⟩⊗∣1⟩=α0β0∣00⟩+α0β1∣01⟩+α1β0∣10⟩+α1β1∣11⟩=α00∣00⟩+α01∣01⟩+α10∣10⟩+α11∣11⟩ \begin{align*} & (\alpha_{0}\ket{0} + \alpha_{1}\ket{1}) \otimes (\beta_{0}\ket{0} + \beta_{1}\ket{1})\\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{0} \otimes \ket{0} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{0} \otimes \ket{1} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{1} \otimes \ket{0} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{1} \otimes \ket{1} \\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{00} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{01} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{10} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{11} \\ &= \alpha_{00}\ket{00} + \alpha_{01}\ket{01} + \alpha_{10}\ket{10} + \alpha_{11}\ket{11} \\ \end{align*}

特に{∣a⟩}a∈{0,1}2\left\{ \ket{a} \right\}_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}}を(C2)⊗2(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}の基底と呼ぶならば、任意の∣ψ⟩∈(C2)⊗2\ket{\psi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}に対して、

∣ψ⟩=∑a∈{0,1}2⟨a∣ψ⟩∣a⟩=∑a∈{0,1}2ψa∣a⟩ \ket{\psi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \braket{a | \psi} \ket {a} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \psi_{a} \ket {a}

∣ψ⟩,∣ξ⟩∈(C2)⊗2\ket{\psi}, \ket{\xi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}の内積は、

⟨ψ∣ξ⟩=∑a∈{0,1}2ψa‾ξa \braket{\psi | \xi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \overline{\psi_{a}} \xi_{a}

このときψa‾\overline{\psi_{a}}はψa\psi_{a}の共役複素数である。

参照

  1. キム・ヨンフン、ホ・ジェソン、量子情報理論 (2020)、p93-95 ↩︎