キュービット：量子コンピュータにおける情報の基本単位

定義¹

$\mathbb{C}$ 上のベクトル空間 $\mathbb{C}^{2}$の二つの単位ベクトル$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$をディラック記法で以下のように表記しよう。

$$ \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\qquad \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

集合$\left\{ \ket{0}, \ket{1} \right\}$の要素を キュビット^{qubit、量子ビット}と呼ぶ。

$\mathbb{C}^{2}$の$n$テンソル積 $\left( \mathbb{C}^{2} \right)^{\otimes n} = \overbrace{\mathbb{C}^{2} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{2}}^{n}$の標準基底

$$ \left\{ \ket{0} \otimes \cdots \otimes \ket{0}, \dots, \ket{1} \otimes \cdots \otimes \ket{1} \right\}$$

の要素を $n$キュビット^$n$qubitと呼ぶ。

説明

キュビットはquantum bitの略語です。ビット^bitが古典コンピューターで情報処理の最小単位であるならば、キュビットは量子コンピューターでその役割を果たしている。

$n$キュビットは次のように簡単に表示される。$a = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}) \in \left\{ 0, 1 \right\}^{n}$を$n$ビットと呼ぶならば、

$$ \begin{align*} \ket{a} &= \ket{a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0} a_{1} \dots a_{n-1}} \\ &= \ket{a_{0}} \otimes \ket{a_{1}} \otimes \cdots \otimes \ket{a_{n-1}} \end{align*} $$

例：$(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$

最も簡単な例として$(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2} = \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \cong \mathbb{C}^{4}$の場合を具体的に見よう。$2$キュビットは次のように表記される。

$$ \ket{00} = \ket{0,0} = \ket{0} \otimes \ket{0},\qquad \ket{01} = \ket{0,1} = \ket{0} \otimes \ket{1} \\ \ket{10} = \ket{1,0} = \ket{1} \otimes \ket{0},\qquad \ket{11} = \ket{1,1} = \ket{1} \otimes \ket{1} $$

それぞれの$2$キュビットを行列で表すと、クロネッカー積の定義に従って次の通りである。

$$ \begin{align*} \ket{00} &= \ket{0} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{01} &= \ket{0} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{10} &= \ket{1} \otimes \ket{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \ket{11} &= \ket{1} \otimes \ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1em] 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

したがって$\braket{ik | jl} = \delta_{ij}\delta_{kl}$である。このとき$\delta$はクロネッカーデルタである。任意の$(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$の要素は次のようである。

$$ \begin{align*} & (\alpha_{0}\ket{0} + \alpha_{1}\ket{1}) \otimes (\beta_{0}\ket{0} + \beta_{1}\ket{1})\\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{0} \otimes \ket{0} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{0} \otimes \ket{1} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{1} \otimes \ket{0} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{1} \otimes \ket{1} \\ &= \alpha_{0}\beta_{0} \ket{00} + \alpha_{0}\beta_{1} \ket{01} + \alpha_{1}\beta_{0} \ket{10} + \alpha_{1}\beta_{1} \ket{11} \\ &= \alpha_{00}\ket{00} + \alpha_{01}\ket{01} + \alpha_{10}\ket{10} + \alpha_{11}\ket{11} \\ \end{align*} $$

特に$\left\{ \ket{a} \right\}_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}}$を$(\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$の基底と呼ぶならば、任意の$\ket{\psi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$に対して、

$$ \ket{\psi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \braket{a | \psi} \ket {a} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \psi_{a} \ket {a} $$

$\ket{\psi}, \ket{\xi} \in (\mathbb{C}^{2}) ^{\otimes 2}$の内積は、

$$ \braket{\psi | \xi} = \sum\limits_{a \in \left\{ 0, 1 \right\}^{2}} \overline{\psi_{a}} \xi_{a} $$

このとき$\overline{\psi_{a}}$は$\psi_{a}$の共役複素数である。

参照

• ビット
• 量子ゲート