テンソル積の普遍的性質
📂線形代数テンソル積の普遍的性質
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有限次元のベクトル空間 V1,…,Vrが与えられたとしよう。ni=dimViで、各ベクトル空間の基底を選ぶと、以下のような座標ベクトルへの全単射関数 fiが得られる。
fi:Vi→Cnivi↦(ai1,…,aini)
これにより、以下のような多重線形変換 fが自然に定義される。
f:V1×⋯×Vr(v1,…,vr)→V1⊗⋯⊗Vr↦v1⊗⋯⊗vr=(j1,…,jr)∑(i=1∏raiji)ej1⊗⋯⊗ejr
ここで、V1⊗V2はベクトル空間のテンソル積、v1⊗v2は積ベクトルである。
定理
ベクトル空間 V1,…,Vr,Wに対して、多重線形変換 ϕが与えられたとする。
ϕ:V1×⋯×Vr→W
すると、次を満たす線形変換 ψ:V1⊗⋯⊗Vr→Wが唯一存在する。
ψ(v1⊗⋯⊗vr)=ϕ(v1,…,vr),∀vi∈Vi,∀i

証明
Viの基底を{eji}1≤ji≤niとしよう。ψ:V1⊗⋯⊗Vr→Wを以下のようなマッピングとして定義する。
ψ(1≤ji≤ni∑aj1,…,jrej1⊗⋯⊗ejr)=1≤ji≤ni∑aj1,…,jrϕ(ej1,…,ejr)
すると、ϕが多重線形であるため、vi=∑1≤ji≤nivi(ji)ejiに対して次が成り立つ。
ϕ(v1,…,vr)=1≤ji≤ni∑(i=1∏rvi(ji))ϕ(ej1,…,ejr)=ψ(1≤ji≤ni∑(i=1∏rvi(ji))ej1⊗⋯⊗ejr)=ψ((1≤j1≤n1∑v1(j1)ej1)⊗⋯⊗(1≤jr≤n1∑v1(jr)ejr))=ψ(v1⊗⋯⊗vr)
3番目の等式は積ベクトルの定義により成立する。これを満たす別のψ′が存在すると仮定しても、ψ−ψ′=0であるために唯一である。
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参照