📂線形代数

ベクトル空間のテンソル積

ビルドアップ¹

• 便宜上、複素数空間$\mathbb{C}$について展開するが、$\mathbb{R}$や任意のベクトル空間でも関係ない。

有限集合$\Gamma$から複素数空間への関数の集合を$\mathbb{C}^{\Gamma}$として表記しよう。

$$\mathbb{C}^{\Gamma} = \left\{ f : \Gamma \to \mathbb{C} \right\}$$

$\Gamma$を$\mathbf{n} = \left\{ 1, 2, \dots, n \right\}$とする。各$1 \le i \le n$を複素数$z_{i} \in \mathbb{C}$に送る関数を$(z_{1}, \dots, z_{n})$と表記すると、これは$\mathbb{C}^{\mathbf{n}}$に属する関数であり、$n$-複素数順序対集合$\mathbb{C}^{n}$のベクトルとも同じである。

$$(z_{1}, \dots, z_{n}) : i \mapsto z_{i}$$

$$\mathbb{C}^{n} := \mathbb{C}^{\mathbf{n}} = \left\{ (z_{1}, \dots, z_{n}) \vert z_{i} \in \mathbb{C} \right\}$$

つまり、$v \in \mathbb{C}^{\Gamma}$は$v : i \mapsto z_{i}$と同じ関数としても、$v = (z_{1}, \dots, z_{\left| \Gamma \right|})$と同じ順序対としても見ることができる。

有限集合$\Gamma_{1}$、$\Gamma_{2}$に対して、二つのベクトル空間$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}}$と$\mathbb{C}^{\Gamma_{2}}$のテンソル積とは、$\Gamma_{1}$と$\Gamma_{2}$の積空間$\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}$から作られる関数空間(ベクトル空間)$\mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}}$として定義される。

定義²

有限集合$\Gamma_{1}$、$\Gamma_{2}$に対し、二つのベクトル空間$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}}$と$\mathbb{C}^{\Gamma_{2}}$のテンソル積^{tensor product}を次のように定義する。

$$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} := \mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}}$$

ここで$\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}$は$\Gamma_{1}$と$\Gamma_{2}$の積空間である。

説明

簡単な例として$\Gamma_{1} = \mathbf{2} = \left\{ 1, 2 \right\}$、$\Gamma_{2} = \mathbf{3} = \left\{ 1, 2, 3 \right\}$とする。そして$\Gamma$をこれらの積空間とする。

$$\Gamma = \Gamma_{1} \times \Gamma_{2} = \left\{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) \right\}$$

その要素をそれぞれ次のように表記する。

$$e_{i} \otimes e_{j} = (i, j)$$

すると、概要での論理をそのまま追って、$v \in \mathbb{C}^{\Gamma}$は$(i,j) \mapsto \alpha_{ij}$と同じ関数であり、$\left( \alpha_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23} \right)$と同じ順序対と見ることができる。従って、$\mathbb{C}^{\Gamma}$は$\left\{ e_{i} \otimes e_{j} : 1 \le i \le 2, 1 \le j \le 3 \right\}$を基底とするベクトル空間である。

$$\begin{align*} \mathbb{C}^{\Gamma} &= \left\{ \sum\limits_{i,j} \alpha_{i,j} e_{i} \otimes e_{j} : \alpha_{ij} \in \mathbb{C} \right\} \\ &= \left\{ \left( \alpha_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23} \right) : \alpha_{ij} \in \mathbb{C} \right\} \end{align*}$$

従って、$\mathbb{C}^{6}$と同型である。

$$\mathbb{C}^{\Gamma} = \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{3} \cong \mathbb{C}^{6}$$

$\mathbb{C}$を積空間に結びつけると、以下のように変数の位置が増え、テンソル積で結びつけると変数のインデックスの位置が増えると考えると簡単だろう。

$$z_{1} \in \mathbb{C}\qquad (z_{1},z_{2}) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}\qquad (z_{1}, z_{2}, z_{3}) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C} \times \mathbb{C}$$

$$(z_{1}, z_{2}) \in \mathbb{C}^{2} \qquad (z_{11}, z_{12}, z_{21}, z_{22}) \in \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \\[1em] (z_{111}, z_{112}, z_{121}, z_{122}, z_{211}, z_{212}, z_{221}, z_{222}) \in \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$$

各$e_{i} \otimes e_{j}$は$\mathbb{C}^{6}$の標準基底のベクトルと次のように対応する。

$$e_{1} \otimes e_{1} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \quad e_{1} \otimes e_{2} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \quad e_{1} \otimes e_{3} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \\[2em] e_{2} \otimes e_{1} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \quad e_{2} \otimes e_{2} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \quad e_{2} \otimes e_{3} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$$

行列のクロネッカー積で表すと次のようになる。

$$e_{1} \otimes e_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1.5em] 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad e_{1} \otimes e_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1.5em] 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\[2em] e_{1} \otimes e_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1.5em] 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad e_{2} \otimes e_{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1.5em] 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\[2em] e_{2} \otimes e_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1.5em] 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad e_{2} \otimes e_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\[1.5em] 1 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

また、これにより次のことが成立することがわかる。

$$\mathbb{C} \otimes \mathbb{C}^{n} \cong \mathbb{C}^{n} \qquad \mathbb{C} \otimes \mathbb{C} \cong \mathbb{C}$$

性質

1. $\mathbb{C}^{n} \otimes \mathbb{C}^{m}$は次の二つの操作に対してベクトル空間である。
   • $(x_{1} \otimes y_{1}) + (x_{2} \otimes y_{2}) = (x_{1} + x_{2}) \otimes (y_{1} + y_{2})$
   • $\alpha (x \otimes y) = (\alpha x) \otimes y = x \otimes (\alpha y)$
2. $\mathbb{C}^{n} \otimes \mathbb{C}^{m} \cong \mathbb{C}^{nm}$
3. $\dim (\mathbb{C}^{n} \otimes \mathbb{C}^{m}) = \dim(\mathbb{C}^{n}) \cdot \dim(\mathbb{C}^{m}) = nm$

一般化

有限集合$\Gamma_{i} (1 \le i \le r)$に対して、ベクトル空間$\mathbb{C}^{\Gamma_{i}}$のテンソル積を、次のように定義する。

$$\mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{r}} := \mathbb{C}^{\Gamma} = \mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \cdots \times \Gamma_{r}},\quad \Gamma = \Gamma_{1} \times \cdots \times \Gamma_{r}$$

$(j_{1}, \dots j_{r}) \in \prod\limits_{i} \Gamma_{i}$に対応する基底ベクトルを次のように表記する。$( 1 \le j_{i} \le \left| \Gamma_{i} \right|)$

$$e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}}$$

すると、テンソル積は次のようなベクトル空間である。$\Gamma_{i}$の基数を$n_{i} = \left| \Gamma_{i} \right|$とすると、

$$\begin{align*} \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{r}} &= \left\{ \sum\limits_{(j_{1}, \dots j_{r}) \in \prod\limits_{i} \Gamma_{i}} \alpha_{j_{1}, \dots, j_{r}} e_{j_{1}} \otimes \cdots \otimes e_{j_{r}}\right\} \\ &= \left\{ (\alpha_{1,\dots,1},\ \dots, \alpha_{n_{1},\ \dots, n_{r}}) : \alpha \in \mathbb{C} \right\} \\ &\cong \mathbb{C}^{\left| \Gamma \right|} \end{align*}$$

一般ベクトル空間

有限次元ベクトル空間$V_{1}, \dots, V_{r}$が与えられたとする。ベクトル空間$V_{i}$の基底$\mathcal{B}_{i} = \left\{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{\dim V_{i}} \right\}$を選ぶと、次のような全単射関数$f_{i}$を得ることができる。

$$\begin{align*} f _{i}: & V_{i} \to \mathbb{C}^{\dim V_{i}} \\ & \sum z_{j}v_{j} \mapsto (z_{1}, \dots, z_{\dim V_{i}}) \end{align*}$$

そうすると、$V_{i}$のテンソル積を次のように定義する。

$$\bigotimes\limits_{i=1}^{r} V_{i} = V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{r} := \mathbb{C}^{\dim V_{1}} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{\dim V_{r}}$$

併せて見る

• 積ベクトル$v \otimes w$
  ${}$
• 物理学でのテンソルとは: テンソルの簡単な定義
• 微分多様体上で定義されるテンソル