排他的論理和、XORゲート

定義¹

次のようなブール関数を $\text{XOR}$ ゲート^{XOR gate}または排他的論理和^{exclusive disjuction/or}と呼び、以下のように表記する。

$$\oplus : \left\{ 0, 1 \right\}^{2} \to \left\{ 0, 1 \right\}$$

$$0\oplus 0 = 0,\quad 0\oplus 1 = 1,\quad 1\oplus 0 = 1,\quad 1\oplus 1 = 0$$

説明

$\text{XOR}$ ゲートは、二つの真理値のうち一つだけが真のとき、つまり真が奇数のときに真を返す。つまり、二つの値が同じならば$0$、異なれば$1$を返すので、二つの値が同じかどうかを比較する機能を実装するのに役立つ。

「パーセプトロンは$\text{XOR}$問題を解くことができない」という指摘のため、AIの発展が停滞した1974年から1980年までをAIの冬^{AI winter}と言う。

부울 함수	기호	진리표
$\text{XOR}$		$a$ $b$ $a \oplus b$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ $1$ $1$ $0$

特性

• $\text{NOT}$ ゲート、$\text{AND}$ ゲート、$\text{OR}$ ゲートで表現可能である。

  $$\begin{align*} a \oplus b &= (a \land \lnot b) \lor (\lnot a \land b) \\ &= (a \lor b) \land (\lnot a \lor \lnot b) \\ &= (a \lor b) \land \lnot (a \land b) \end{align*}$$

• $a \oplus 1 = \lnot a$が成立する。

• $a \oplus 0 = a$が成立する。