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排他的論理和、XORゲート

排他的論理和、XORゲート

양자정보이론
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定義1

次のようなブール関数$\text{XOR}$ ゲートXOR gateまたは排他的論理和exclusive disjuction/orと呼び、以下のように表記する。

$$ \oplus : \left\{ 0, 1 \right\}^{2} \to \left\{ 0, 1 \right\} $$

$$ 0\oplus 0 = 0,\quad 0\oplus 1 = 1,\quad 1\oplus 0 = 1,\quad 1\oplus 1 = 0 $$

説明

$\text{XOR}$ ゲートは、二つの真理値のうち一つだけが真のとき、つまり真が奇数のときに真を返す。つまり、二つの値が同じならば$0$、異なれば$1$を返すので、二つの値が同じかどうかを比較する機能を実装するのに役立つ。

パーセプトロンは$\text{XOR}$問題を解くことができない」という指摘のため、AIの発展が停滞した1974年から1980年までをAIの冬AI winterと言う。

부울 함수기호진리표
$\text{XOR}$
$a$$b$$a \oplus b$
$0$$0$$0$
$0$$1$$1$
$1$$0$$1$
$1$$1$$0$

特性

  • $\text{NOT}$ ゲート、$\text{AND}$ ゲート、$\text{OR}$ ゲートで表現可能である。

    $$ \begin{align*} a \oplus b &= (a \land \lnot b) \lor (\lnot a \land b) \\ &= (a \lor b) \land (\lnot a \lor \lnot b) \\ &= (a \lor b) \land \lnot (a \land b) \end{align*} $$

  • $a \oplus 1 = \lnot a$が成立する。

  • $a \oplus 0 = a$が成立する。


  1. キム・ヨンフン・ホ・ジェソン, 量子情報理論 (2020), p85 ↩︎