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不変部分空間の直和とその特性多項式 📂線形代数

不変部分空間の直和とその特性多項式

定理1

T:VVT : V \to Vを有限次元のベクトル空間VV上の線形変換としよう。VVTT-不変部分空間WiW_{i}たちの直和であると仮定しよう。

V=W1W2Wk V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k}

fi(t)f_{i}(t)を制限TWiT|_{W_{i}}の特性多項式としよう。すると、TTの特性多項式f(t)f(t)は以下のようになる。

f(t)=f1(t)f2(t)fk(t) f(t) = f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) \cdot \cdots \cdot f_{k}(t)

証明

数学的帰納法で証明する。

  • k=2k=2のとき成り立つ。

    β1,β2\beta_{1}, \beta_{2}W1,W2W_{1}, W_{2}の順序基底としよう。そして、β=β1β2\beta = \beta_{1} \cup \beta_{2}とする。すると、直和の性質により、β\betaVVの順序基底である。

    これから、A=[T]βA = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}B1=[TW1]β1B_{1} = \begin{bmatrix} T_{W_{1}} \end{bmatrix}_{\beta_{1}}B2=[TW2]β2B_{2} = \begin{bmatrix} T_{W_{2}} \end{bmatrix}_{\beta_{2}}としよう。すると、AAは以下のようなブロック行列として表される。 A=[B1OOB2] A = \begin{bmatrix} B_{1} & O \\ O & B_{2} \end{bmatrix} ここで、OOを適切なサイズのゼロ行列としよう。すると、ブロック行列の行列式により、 f(t)=det(AtI)=det(B1tI)det(B2tI)=f1(t)f2(t) f(t) = \det(A - tI) = \det(B_{1} - tI) \det(B_{2} - tI) = f_{1}(t) \cdot f_{2}(t)

  • k12k-1 \ge 2のとき成り立つと仮定すると、kkでも成り立つ。

    VVを部分空間WiW_{i}たちの直和としよう。 V=W1W2Wk V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k} WWWi(1ik1)W_{i}(1\le i \le k-1)たちの和としよう。 W=W1+W2++Wk1 W = W_{1} + W_{2} + \cdots + W_{k-1} すると、WWTT-不変であり、V=WWkV = W \oplus W_{k}が成り立つ。k=2k=2のときの証明により、g(t)g(t)TWT|_{W}の特性多項式とすれば、f(t)=g(t)fk(t)f(t) = g(t)f_{k}(t)が成り立つ。実際には、W=W1W2Wk1W = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k-1}が成り立ち、仮定によりg(t)=f1(t)fk1(t)g(t) = f_{1}(t) \cdots f_{k-1}(t)が成り立つ。したがって、 f(t)=g(t)fk(t)=f1(t)f2(t)fk(t) f(t) = g(t)f_{k}(t) = f_{1}(t) f_{2}(t) \cdots f_{k}(t)


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p319-320 ↩︎