不変部分空間の直和とその特性多項式
📂線形代数不変部分空間の直和とその特性多項式
定理
T:V→Vを有限次元のベクトル空間V上の線形変換としよう。VがT-不変部分空間Wiたちの直和であると仮定しよう。
V=W1⊕W2⊕⋯⊕Wk
fi(t)を制限T∣Wiの特性多項式としよう。すると、Tの特性多項式f(t)は以下のようになる。
f(t)=f1(t)⋅f2(t)⋅⋯⋅fk(t)
証明
数学的帰納法で証明する。
k=2のとき成り立つ。
β1,β2をW1,W2の順序基底としよう。そして、β=β1∪β2とする。すると、直和の性質により、βはVの順序基底である。
これから、A=[T]β、B1=[TW1]β1、B2=[TW2]β2としよう。すると、Aは以下のようなブロック行列として表される。
A=[B1OOB2]
ここで、Oを適切なサイズのゼロ行列としよう。すると、ブロック行列の行列式により、
f(t)=det(A−tI)=det(B1−tI)det(B2−tI)=f1(t)⋅f2(t)
k−1≥2のとき成り立つと仮定すると、kでも成り立つ。
Vを部分空間Wiたちの直和としよう。
V=W1⊕W2⊕⋯⊕Wk
WをWi(1≤i≤k−1)たちの和としよう。
W=W1+W2+⋯+Wk−1
すると、WはT-不変であり、V=W⊕Wkが成り立つ。k=2のときの証明により、g(t)をT∣Wの特性多項式とすれば、f(t)=g(t)fk(t)が成り立つ。実際には、W=W1⊕W2⊕⋯⊕Wk−1が成り立ち、仮定によりg(t)=f1(t)⋯fk−1(t)が成り立つ。したがって、
f(t)=g(t)fk(t)=f1(t)f2(t)⋯fk(t)
■