logo

2025年春のオマカセ: 君の名は 📂生エビ寿司誌

2025年春のオマカセ: 君の名は

紹介

韓国は3月に新しい学期が始まるので、この時期は新しい人たちの名前を覚えることが多いよね。だから今回は名前に関連するメニューを準備した。

メニュー

三角関数

三角関数は理工系の勉強をする時に最もよく接する関数の一つだ。でもその名前についてよく知っている人は少ない気がする。私の記憶では中学校の時に初めて学んだようだが、あまりにも若い時に学んで「そんなものか」と受け入れ、名前を気にするタイミングを逃したのではないかと思う。

基本的な三角関数は以下の通り：

sin⁡θ:=yx2+y2cos⁡θ:=xx2+y2tan⁡θ=yx=sin⁡θcos⁡θsec⁡θ:=1cos⁡θ=x2+y2xcsc⁡θ:=1sin⁡θ=x2+y2ycot⁡θ:=1tan⁡θ=xy=cos⁡θsin⁡θ \begin{align*} \sin \theta &:= \dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ \cos \theta &:= \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ \tan \theta &= \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{align*}\qquad\qquad \begin{align*} \sec \theta &:= \dfrac{1}{\cos \theta} = \dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} \\ \csc \theta &:= \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y} \\ \cot \theta &:= \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \end{align*}

これらは基本的に三角形と関連があり、幾何学的な意味で名前が由来している。これらの逆関数はsin⁡−1,cos⁡−1\sin^{-1}, \cos^{-1}と表記されることもあるが、arcsin⁡,arccos⁡\arcsin, \arccosという表記法がより多く使用される。どうしてこんな名前が付けられたのだろうか？

三角関数系の中には双曲線関数hyperbolic functionと呼ばれるものもある。これらの表記法と定義は以下の通り。

sinh⁡θ:=eθ−e−θ2cosh⁡θ:=eθ+e−θ2tanh⁡θ:=sinh⁡θcosh⁡θ=eθ−e−θeθ+e−θ \begin{align*} \sinh \theta &:= \dfrac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2} \\ \cosh \theta &:= \dfrac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2} \\ \tanh \theta &:= \dfrac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \dfrac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{e^{\theta} + e^{-\theta}} \\ \end{align*}

これらに関連する詳細な内容は以下で確認できる。

幾何

数学には「幾何」という名前が付いたものが多い。幾何学から始まり、ユークリッド幾何学、微分幾何学、幾何平均、幾何級数、幾何分布などがある。ところがよく見ると、それらの「幾何学」ではないものたちは幾何学とあまり関連しているようには見えない。直感的に幾何とあまり関係がなさそうなものは以下の通り。

幾何平均: ab幾何級数: ∑n=0∞arn=a+ar+ar2+ar3+⋯幾何分布: p(x)=p(1−p)x−1,(x=1,2,3,… ) \begin{align*} \footnotesize \text{幾何平均: }& \sqrt{ab} \\ \footnotesize \text{幾何級数: }& \sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} = a + ar + ar^{2} + ar^{3} + \cdots \\ \footnotesize \text{幾何分布: }& p(x) = p(1-p)^{x-1}, \qquad (x = 1, 2, 3, \dots) \\ \end{align*}

ab\sqrt{ab}をなぜ幾何平均と呼ぶのかを簡単に説明すると次の通り：

  1. 掛け算は面積を意味し、これは即ち幾何である。
  2. 異なる2つの数の積が、ある1つの数を2回掛けたもの（自乗）と等しければ、それが（乗法における）平均である。

詳しいことは以下の文書を参照しよう。

幾何級数は初項がaa、公比がrrの等比数列{arn−1}\left\{ ar^{n-1} \right\}の無限和だ。これを幾何級数と呼ぶ理由は、nn番目の項がn−1n-1番目の項とn+1n+1番目の項の幾何平均になるからだ。

arn=(arn−1)(arn+1) ar^{n} = \sqrt{(ar^{n-1})(ar^{n+1})}

幾何分布が幾何分布である理由は、その確率質量関数が等比数列の形を取っているからである。

p(x)=p(1−p)x−1,x=1,2,3,… p(x) = p(1-p)^{x-1}, \qquad x = 1, 2, 3, \dots

これは初項がpp、公比が1−p1-pの等比数列のxx番目の項であり、等比数列は上で見たように幾何平均と関連しているため、この分布を幾何分布と呼んでいる。このように掛け算に関連する概念には幾何geometricという単語が自然に付いている。特に幾何級数的に増加するという言葉は日常でもよく使われ、非常に速く増加するという意味で使用される。下のグラフを見ると、和による増加(2+2+2+2+⋯2+2+2+2+\cdots)と掛けによる増加(2×2×2×2⋯ )(2 \times 2 \times 2 \times 2 \cdots)の違いがわかる。

その他

一つのカテゴリにまとめるのが難しいメニューをここに一緒に準備した。表記法に関連するメニューも含まれている。