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三角関数の合成公式 📂関数

三角関数の合成公式

公式

  • サインへの合成

    Acos⁡θ+Bsin⁡θ=Csin⁡(θ+ϕ) A \cos \theta + B \sin \theta = C\sin(\theta + \phi)

    ここに、C=A2+B2C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}、ϕ=sin⁡−1(AA2+B2)=cos⁡−1(BA2+B2)\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)がある。

  • コサインへの合成

    Acos⁡θ+Bsin⁡θ=Ccos⁡(θ−ϕ) A \cos \theta + B \sin \theta = C\cos(\theta - \phi)

    ここに、C=A2+B2C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}、ϕ=sin⁡−1(BA2+B2)=cos⁡−1(AA2+B2)\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)がある。

証明

二つの項 Acos⁡θ+Bsin⁡θA \cos \theta + B \sin \thetaを A2+B2\sqrt{A^{2} + B^{2}}にまとめると、

Acos⁡θ+Bsin⁡θ=A2+B2(AA2+B2cos⁡θ+BA2+B2sin⁡θ) A \cos \theta + B \sin \theta = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\cos \theta + \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\sin \theta \right)

ここで −1<AA2+B2<1-1 \lt \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \lt 1であるから、この値をsin⁡ϕ\sin \phiとおこう。

sin⁡ϕ=AA2+B2 \sin \phi = \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

そして、sin⁡2ϕ−1=cos⁡2ϕ\sin^{2} \phi - 1 = \cos^{2} \phiであるから、

sin⁡2ϕ−1=A2A2+B2−A2+B2A2+B2=B2A2+B2=cos⁡ϕ \sin^{2} \phi - 1 = \dfrac{A^{2}}{A^{2} + B^{2}} - \dfrac{A^{2} + B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \dfrac{B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \cos \phi

  ⟹  BA2+B2=cos⁡ϕ \implies \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \cos \phi

今、C=A2+B2C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}としておくと、三角関数の加法定理により、

Acos⁡θ+Bsin⁡θ=C(sin⁡ϕcos⁡θ+cos⁡ϕsin⁡θ)=Csin⁡(θ+ϕ) A \cos \theta + B \sin \theta = C \left( \sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta \right) = C\sin(\theta + \phi)