📂線形代数

몫공간의 기저와 차원

定理¹

$V$を$n$次元のベクトル空間、$W \le V$を$k (\lt n)$次元の部分空間とする。$W$の基底を$\left\{ u_{1}, \dots, u_{k} \right\}$とする。さらに、この基底を拡張した$V$の基底を$\left\{ u_{1}, \dots, u_{k}, u_{k+1}, \dots, u_{n} \right\}$とする。このとき、

• $\left\{ u_{k+1} + W, \dots, u_{n} + W \right\}$は剰余空間$V/W$の基底である。

• $\dim(V) = \dim(V/W) + \dim(W)$

説明

次元に関する結果は別の証明でも得ることができる。

証明

$\beta = \left\{ u_{k+1} + W, \dots, u_{n} + W \right\}$とする。

• $\beta$は線形独立である。

  $V/W$の零ベクトルは$W$であるため、次の式を成り立たせる解は$a_{k+1} = \cdots = a_{n} = 0$しかないことを示さなければならない。

  $$a_{k+1}(u_{k+1} + W) + \cdots + a_{n}(u_{n} + W) = W$$

  $V/W$で定義された加算によれば、

  $$\begin{align*} a_{k+1}(u_{k+1} + W) + \cdots + a_{n}(u_{n} + W) &= (a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= W \end{align*}$$

  補助定理

  (b) $v_{1}, v_{2} \in V$について、$v_{1} + W = v_{2} + W$であることは$v_{1} - v_{2} \in W$であることと同値である。

  (c) $V/W$はベクトル空間であり、零ベクトルは$0_{V} + W = W$である。($0_{V}$は$V$の零ベクトルである。)

  すると、上記の補助定理により次が得られる。

  $$(a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W = 0_{V} + W$$ $$\implies a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} - 0_{V} = a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} \in W \tag{1}$$

  $u_{k+1}, \dots, u_{n}$は定義により明らかに$W$の要素ではない。

  $$u_{k+1}, \dots, u_{n} \notin W \tag{2}$$

  しかし、$u_{k+1}, \dots, u_{n}$は線形独立であるため、$(1)$と$(2)$を同時に満たすには$a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0_{V} = 0_{W}$でなければならない。したがって次が得られる。

  $$a_{k+1} = \cdots = a_{n} = 0$$

• $\span \beta = V/W$

  $w \in W$について$w + W = W$であるから、任意の$v \in V$について、

  $$\begin{align*} v + W &= (a_{1}u_{1} + \cdots + a_{k}u_{k} + a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= (a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= (a_{k+1}u_{k+1} + W) + \cdots + (a_{n}u_{n} + W) \\ \end{align*}$$

したがって、$\beta$は$V/W$の基底である。したがって

$$\begin{align*} \dim(V) &= \dim(V/W) + \dim(W) \\ n &= (n-k) + k \end{align*}$$

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