📂線形代数

대각화가능한 선형변환의 불변부분공간으로의 축소사상도 대각화가능하다

定理¹

$V$をベクトル空間、$T : V \to V$を対角化可能な線形変換とする。$\left\{ \mathbf{0} \right\} \ne W \le V$である$W$を自明ではない$T$-不変部分空間とする。このとき、縮小写像$T|_{W}$も対角化可能である。

自明な$T$-不変部分空間とは、零ベクトル集合$\left\{ \mathbf{0} \right\}$、全体集合$V$、像$R(T)$、零空間$N(T)$、固有空間$E_{\lambda}$をいう。

証明

対角化可能な線形変換の特性多項式は分解されるため、$n = \dim(V)$個の固有値$\lambda$が存在する。 $E_{\lambda}$を$\lambda$に対する固有空間とする。

$$ E_{\lambda} = \left\{ v \in V : Tv = \lambda v \right\} $$

$W_{\lambda} = E_{\lambda} \cap W$と置くと、$W$が$T$-不変であるため、$\lambda$に対応する$T|_{W}$の固有空間となる。

$$ W_{\lambda} = \left\{ v \in W : T|_{W}v = \lambda v \right\} $$

$\beta_{\lambda}$を$W_{\lambda}$の基底としよう。われわれは$\beta = \bigcup\limits_{\lambda} \beta_{\lambda}$が$W$の基底であることを示す。すると$\beta$が固有ベクトルの集合であるため、$T|_{W}$が対角化可能であることを示すことと同じである。

• $\beta$は線形独立である。

  異なる固有空間の線形独立な集合の合併は線形独立であるため $\beta$は$W$上で線形独立である。

• $\beta$は$W$を生成する。

  $T$が対角化可能であるから、$V$のすべてのベクトルは$T$の（線形独立な）固有ベクトルの線形結合で表すことができる。$W$は$V$の部分空間であるため、$W$のすべてのベクトルも同様である。

  補助定理

  $V$を$n$次元ベクトル空間、$T : V \to V$を線形変換、$W$を$T$-不変とする。$v_{1}, \dots, v_{k}$を異なる固有値に対応する$T$の固有ベクトルとする。もし$v_{1} + \cdots + v_{k} \in W$ならば、すべての$i$について$v_{i} \in W$である。

  すると補助定理と$\beta$の定義によって、$W$のすべての要素は$\beta$の線形結合で表現されることがわかる。

■

参照

• 他の証明