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不変部分空間と固有ベクトルの関係 📂線形代数

不変部分空間と固有ベクトルの関係

定理1

VVをnn次元のベクトル空間とし、T:V→VT : V \to Vを線形変換とし、WWをTT-不変とする。v1,…,vkv_{1}, \dots, v_{k}を異なる固有値に対応するTTの固有ベクトルとする。もしv1+⋯+vk∈Wv_{1} + \cdots + v_{k} \in Wならば、全てのiiに対して、vi∈Wv_{i} \in Wが成り立つ。

証明

数学的帰納法で証明する。

  • k=1k=1の場合

    自明にv1∈W  ⟹  v1∈Wv_{1} \in W \implies v_{1} \in Wである。

  • k=m−1k = m-1が成立すると仮定

    今、k=mk = mであり、v=v1+⋯vm∈Wv = v_{1} + \cdots v_{m} \in Wが成り立つとする。なぜなら、WWがTT-不変であるから、

    T(v)=T(v1+⋯+vm)=T(v1)+⋯T(vm)=λ1v1+⋯+λmvm∈W T(v) = T(v_{1} + \dots + v_{m}) = T(v_{1}) + \cdots T(v_{m}) = \lambda_{1}v_{1} + \cdots + \lambda_{m}v_{m} \in W

    ここで、λi\lambda_{i}は異なる固有値である。WWが部分空間であるから（）、λmv∈W\lambda_{m}v \in Wが成り立ち、次が成り立つ。

    T(v)−λmv=(λ1−λm)v1+⋯+(λm−1−λm)vm−1∈W T(v) - \lambda_{m}v = (\lambda_{1} - \lambda_{m})v_{1} + \cdots + (\lambda_{m-1} - \lambda_{m})v_{m-1} \in W

    それから、k=m−1k=m-1の時の仮定により、次を得る。

    (λ1−λm)v1,…,(λm−1−λm)vm−1∈W  ⟹  v1,…,vm−1∈W (\lambda_{1}-\lambda_{m})v_{1}, \dots, (\lambda_{m-1}-\lambda_{m})v_{m-1} \in W \implies v_{1}, \dots, v_{m-1} \in W

    したがって、WWは部分空間であるから、次が成り立つ。

    vm=v−v1−⋯−vm−1∈W v_{m} = v - v_{1} - \cdots - v_{m-1} \in W

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  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p234 ↩︎