📂線形代数

対角化可能な線形変換の特性多項式は因数分解される

定義¹

$P(F)$の多項式が**$F$ 上で分解される**^{split over F}とは、次を満たす定数$c, a_{1}, \dots, a_{n} \in F$が存在することを意味する。

$$f(t) = c(t - a_{1})(t - a_{2})\cdots(t - a_{n})$$

分解される$f(t)$がある線形変換$T$や行列$A$の固有多項式である場合、$T$(または$A$)が分解されると言う。

説明

定義により、$T: V \to V$の固有多項式が分解される場合、$T$は$n = \dim(V)$個の固有値を持つ。（異なるとは言っていない）

簡単な例として$f(t) = t^{2} + 1 = (t-i)(t+i)$は$\mathbb{R}$上で分解できない。

定理

任意の対角化可能な線形変換の固有多項式は分解される。

証明

$V$を$n$次元のベクトル空間、$T : V \to V$を対角化可能な線形変換とする。$\beta$を$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = D$が対角行列になるようにする順序基底とする。

$$D = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}$$

そして$f(t)$を$T$の固有多項式とする。すると、固有多項式は順序基底の選択に依存しないので、

$$\begin{align*} f(t) &= \det(D - tI) = \det \begin{bmatrix} \lambda_{1} - t & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{1} - t & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} - t \end{bmatrix} \\ &= (\lambda_{1} - t)(\lambda_{2} -t)\cdots(\lambda_{n}-t) \\ &= (-1)^{n}(t-\lambda_{1})(t-\lambda_{2})\cdots(t-\lambda_{n}) \end{align*}$$

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