📂線形代数

異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立である

定理¹

$V$をベクトル空間とし、$T : V \to V$を線形変換とし、$\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$を$T$の異なる固有値とする。もし$\mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}$がそれぞれ固有値$\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$に対応する$T$の固有ベクトルならば、$\left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$は線形独立である。

従属定理

対角化

Tが対角化可能であるのは、$n$個の線形独立な$T$の固有ベクトルが存在することと同じである。

$T : V \to V$が線形変換であり、$\dim(V) = n$とする。$T$が異なる$n$個の固有値を持つならば、$T$は対角化可能である。

証明

数学的帰納法で証明する。$k=1$とする。すると固有ベクトルの定義により$\mathbf{v}_{1} \ne \mathbf{0}$が成り立ち、$\left\{ \mathbf{v}_{1} \right\}$は線形独立である。

現在$k-1$個の異なる固有値に対して定理が成立すると仮定しよう。そして$a_{1}, \dots, a_{k}$が次の方程式を満たす定数であるとする。

$$a_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + a_{k}\mathbf{v}_{k} = \mathbf{0}$$

両辺に$T - \lambda_{k}I$を取ると、$v_{i}$が固有ベクトルであるため、

$$a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k})\mathbf{v}_{1} + \cdots a_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_{k})\mathbf{v}_{k-1} = \mathbf{0}$$

すると仮定により次が成り立つ。

$$a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) = \cdots = a_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_{k}) = 0$$

この時$\lambda_{i}$は異なると仮定しているので

$$a_{1} = \cdots = a_{k-1} = 0$$

従って$a_{k}\mathbf{v}_{k} = \mathbf{0}$になるが、$\mathbf{v}_{k} \ne \mathbf{0}$であるため、$a_{k} = 0$である。従って、

$$a_{1} = \cdots = a_{k} = 0$$

であり、$\left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$は線形独立である。

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