📂幾何学

微分可能多様体上の微分可能なベクトル場の集合

定義¹

$M$を微分可能多様体と呼ぼう。$M$上の全ての微分可能なベクトル場の集まりを$\frak{X}(M)$と記号で表す。

$$\frak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M \right\}$$

説明

$\frak{X}(M)$は環$\mathcal{D}(M)$に対して、$\mathcal{D}(M)$-モジュールである。言い換えると、微分可能な関数$f \in \mathcal{D}(M)$とベクトル場$X \in \frak{X}(M)$に対して、$fX$が（各点で）よく定義される。

$$\begin{align*} (X + Y)(p) &= X(p) + Y(p) \\ fX(p) &= f(p)X(p) \end{align*} \qquad \forall X, Y \in \frak{X}(M),\quad \forall f \in \mathcal{D}(M)$$

$X(p)$と$Y(p)$は、ベクトル空間 $T_{p}M$の要素であるため、和がよく定義される。$f(p) \in \mathbb{R}$であり、$X(p) \in T_{p}M$であるため、これらの積もよく定義される。

また、ベクトル場はそれ自体が微分作用素であるため、次のように積の微分が成り立つ。$X, Y \in \frak{X}(M), f \in \mathcal{D}(M)$に対して、

$$X(fY) = X(f)Y + fXY$$

直接計算で簡単に示すことができる。$X = a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x}_{i}$、$Y = b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x}_{j}$とすると、

$$\begin{align*} X(fY) &= a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\left( fb_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\left( fb_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= a_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i}f\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i}f b_{j}\dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ &= a_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + f\left( a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i} b_{j}\dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i}\partial x_{j}} \right)\\ &= X(f)Y + fXY \end{align*}$$

一緒に見る

• ベクトル場 $X : M \to TM$
• 微分可能多様体上で微分可能な関数の集まり $\mathcal{D}(M)$