角速度
定義
円運動する粒子の単位時間あたりの回転角度を角速度angular velocityという。
2次元
原点を回転軸として円運動する粒子の位置ベクトルが$x$軸となす角を$\theta$とするとき、角速度は次のようになる。
$$ \omega = \frac{d\theta}{dt} $$
反時計回りに回るときを正とする。
3次元
3次元では角速度をベクトル$\boldsymbol{\omega}$で表す。大きさは単位時間あたりの回転角度$d\theta/dt$であり、向きは回転軸に沿って右手の法則で定める。右手の四本の指を回転方向に巻いたとき、親指が指す側が$\boldsymbol{\omega}$の向きである。
回転軸上の一点を原点にとると、位置$\mathbf{r}$にある粒子の速度は角速度と次の関係をもつ。
$$ \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r} $$
説明
SI単位は$\mathrm{rad/s}$である。ラジアンは無次元なので$\mathrm{s^{-1}}$と同じである。実生活では毎分回転数rpmもよく使われ、$1\ \mathrm{rpm} = 2\pi/60\ \mathrm{rad/s}$である。
一周が$2\pi\ \mathrm{rad}$なので、周期$T$、振動数$f$とは次の関係がある。
$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$
半径$r$の円上を回る粒子の速さは$v = r\omega$である。角速度が同じでも、回転軸から遠いほど速く動く。剛体が回転するときはすべての点が同じ角速度をもつので、角速度は剛体の回転状態を表す量として用いられる。