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対角化可能な線型変換 📂線形代数

対角化可能な線型変換

定義 1

VV有限次元ベクトル空間とする。T:VVT : V \to V線形変換とする。TT行列表示[T]β\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}対角行列になるような順序基底β\betaが存在する場合、TT対角化可能diagonalizeableであると言われる。

正方行列AAについて、LAL_{A}が対角化可能であれば、行列AA対角化可能であると言われる。

説明

線形変換T:VVT : V \to Vが対角化可能だとしよう。β={v1,,vn}\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{n} \right\}VVの順序基底とする。そしてD=[T]βD = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}が対角行列であるとする。その場合、各vjβv_{j} \in \betaに対して、次のことを得る。

T(vj)=iDijvi=Djjvj T(v_{j}) = \sum_{i} D_{ij} v_{i} = D_{jj}v_{j}

この時λj=Djj\lambda_{j} = D_{jj}と言われる場合、

T(vj)=λjvj T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}

[T]β\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}を対角行列にする順序基底の要素は、このような特別な方程式の形を満たすようになる。したがって、このような順序基底β\betaによって表されるベクトルは、単に各成分にスカラーλj\lambda_{j}を掛けるだけで、線形変換TTを適用したのと同じになる。この特別なベクトルvjv_{j}とスカラーλj\lambda_{j}を、我々は固有ベクトル固有値と呼ぶ。したがって、対角化可能な条件を固有値と関連づけると、

nn個の線形独立な固有ベクトルの存在 = 固有ベクトルで構成される基底の存在     \iff 対角化可能


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th版, 2002), p245-246 ↩︎