対角化可能な線型変換
📂線形代数対角化可能な線型変換
定義
Vを有限次元のベクトル空間とする。T:V→Vを線形変換とする。Tの行列表示[T]βが対角行列になるような順序基底βが存在する場合、Tは対角化可能diagonalizeableであると言われる。
正方行列Aについて、LAが対角化可能であれば、行列Aは対角化可能であると言われる。
説明
線形変換T:V→Vが対角化可能だとしよう。β={v1,…,vn}をVの順序基底とする。そしてD=[T]βが対角行列であるとする。その場合、各vj∈βに対して、次のことを得る。
T(vj)=i∑Dijvi=Djjvj
この時λj=Djjと言われる場合、
T(vj)=λjvj
[T]βを対角行列にする順序基底の要素は、このような特別な方程式の形を満たすようになる。したがって、このような順序基底βによって表されるベクトルは、単に各成分にスカラーλjを掛けるだけで、線形変換Tを適用したのと同じになる。この特別なベクトルvjとスカラーλjを、我々は固有ベクトルと固有値と呼ぶ。したがって、対角化可能な条件を固有値と関連づけると、
n個の線形独立な固有ベクトルの存在 = 固有ベクトルで構成される基底の存在 ⟺ 対角化可能