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ベクトルの座標変換 📂線形代数

ベクトルの座標変換

概要1 2

VVをnn次元 ベクトル空間としよう。v∈V\mathbf{v} \in Vとする。β\betaをVVのある順序基底とすると、v\mathbf{v}は座標ベクトル[v]β[\mathbf{v}]_{\beta}として表される。別の順序基底β′\beta ^{\prime}が与えられると、v\mathbf{v}はそれに対する座標ベクトル[v]β′[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}としても表される。ベクトルの座標変換とは、これら二つの座標ベクトルの関係式を言う。

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便宜上、VVの次元をn=2n = 2としよう。β={u1,u2}\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \right\}をVVの順序基底とし、別の順序基底β′={u1′,u2′}\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \mathbf{u}_{2}^{\prime} \right\}を考える。β′\beta ^{\prime}のベクトルのβ\betaに対する座標ベクトルが次のように与えられたとしよう。

[u1′]β=[ab]and[u2′]β=[cd] [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}

つまり、次の式が成立する。

u1′=au1+bu2u2′=cu1+du2 \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u}_{1}^{\prime} &= a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2} \\ \mathbf{u}_{2}^{\prime} &= c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2} \end{aligned} \end{equation}

今、あるベクトルv∈V\mathbf{v} \in Vを選び、β′\beta^{\prime}に対する座標ベクトルが次のようだとしよう。

[v]β′=[k1k2] \begin{equation} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \end{equation}

v=k1u1′+k2u2′ \mathbf{v} = k_{1}\mathbf{u}_{1}^{\prime} + k_{2}\mathbf{u}_{2}^{\prime}

この式に(1)(1)を代入すると、

v=k1(au1+bu2)+k2(cu1+du2)=(k1a+k2c)u1+(k1b+k2d)u2 \begin{align*} \mathbf{v} &= k_{1}(a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2}) + k_{2}(c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2}) \\ &= (k_{1}a + k_{2}c)\mathbf{u}_{1} + (k_{1}b + k_{2}d)\mathbf{u}_{2} \end{align*}

[v]β=[(k1a+k2c)(k1b+k2d)] [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix}

このとき、(2)(2)を使用して上の式を整理すると

[v]β=[(k1a+k2c)(k1b+k2d)]=[acbd][k1k2]=[acbd][v]β′ \begin{align*} [\mathbf{v}]_{\beta} &= \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \\ \end{align*}

ここでQ=[acbd]Q = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}とすると、β\betaに対する座標ベクトルは、β′\beta^{\prime}に対する座標ベクトルに行列QQを乗じて得られることが分かる。また、QQの各列は、β′\beta^{\prime}のβ\betaに対する座標ベクトルで構成されている。

[v]β=Q[v]β′=[[u1′]β[u2′]β][v]β′∀v∈V [\mathbf{v}]_{\beta} = Q[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \quad \forall \mathbf{v} \in V

したがって、Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}であることが分かる。IIは恒等変換である。

定義

β,β′\beta, \beta^{\prime}をnn次元ベクトル空間VVの二つの順序基底としよう。Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}を座標変換行列または遷移行列という。v∈V\mathbf{v} \in Vについて、下の数式

[v]β=Q[v]β′ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

がQQがβ′\beta^{\prime}-座標をβ\beta-座標に変換することを指す。

説明

具体的にβ={u1,…,un}\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n} \right\}、β′={u1′,…,un′}\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \dots, \mathbf{u}_{n}^{\prime} \right\}とすると、

Q=[[u1′]β⋯[un′]β] Q = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & \cdots & [\mathbf{u}_{n}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix}

uj′=∑iQijui \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i} Q_{ij}\mathbf{u}_{i}

QQがβ′\beta^{\prime}-座標をβ\beta-座標に変換すると、Q−1Q^{-1}はβ\beta-座標をβ′\beta^{\prime}-座標に変換する。

定理

β,β′\beta, \beta^{\prime}をnn次元ベクトル空間VVの二つの順序基底としよう。Q=[I]β′βQ = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}としよう。その場合、

(a) QQは可逆行列である。

(b) ∀v∈V\forall \mathbf{v} \in V、[v]β=Q[v]β′[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

証明

(a)

補助定理

線形変換TTが可逆であることは、[T]βγ\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\gamma}が可逆であることと同値である。

恒等変換IIが可逆であるので、補助定理によりQQは可逆である。

■

(b)

座標ベクトルと行列表現の性質により、

[v]β=[I(v)]β=[I]β′β[v]β′=Q[v]β′ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} I(\mathbf{v}) \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}

■

  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p110-112 ↩︎

  2. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p256-259 ↩︎