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リー群 📂抽象代数

リー群

定義1

群 GGが以下の条件を満たす時、これをリー群Lie groupと呼ぶ。

  1. 微分可能な構造を持っている。

  2. GGで定義された二項操作 ⋅:G×G→G\cdot : G \times G \to Gが微分可能である。

  3. 逆元 −1:G→G{}^{-1} : G \to Gが微分可能である。

説明

簡単に言えば、リー群とは、微分可能な群である。

例

(R,+)(\mathbb{R}, +)

  1. ユークリッド空間は微分可能な構造を持っている。

  2. f:(x,y)↦x+y∈C∞f : (x,y) \mapsto x+y \in C^{\infty}

  3. g:x↦−x∈C∞g : x \mapsto -x \in C^{\infty}

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p39-40 ↩︎