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行列空間 📂線形代数

行列空間

定義

体 FFに対して、要素がFFの元であるm×nm \times n行列の集合をMm×n(F)M_{m \times n}(F)としよう。

Mm×n(F):={[a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn]:aij∈F} M_{m \times n}(F) := \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} : a_{ij} \in F \right\}

すると、行列の加算とスカラー乗算に対して、Mm×n(F)M_{m \times n}(F)はFF-ベクトル空間である。

説明

同じサイズの行列の集まりは、それ自体がベクトル空間になる。数を一列に並べると順序対(ベクトル)になり、矩形に並べると行列になるので、これは当然のことかもしれない。

部分空間

ゼロトレース行列

トレースが00である行列をゼロトレース行列zero trace matrixと呼ぼう。

すべてのn×nn \times nゼロトレース行列の集合WWは、Mn×nM_{n \times n}のn2−1n^{2}-1次元部分空間である。WWの次元がn2−1n^{2}-1であることは簡単に確認できる。例えば、3×33 \times 3の場合を考えると、WWは次のようになる。

W={[abcdefgh−(a+e)]} W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & -(a+e) \end{bmatrix} \right\}

したがって、WWは次の集合によって生成され、WWの次元は32−1=83^{2}-1 = 8である。

β={[10000000−1],[010000000],[001000000],[000100000],[00001000−1],[000001000],[000000100],[000000010]} \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right\}

上三角行列

すべてのn×nn \times n上三角行列の集合をWWとしよう。すると、WWはMn×nM_{n \times n}の∑k=1nk\sum\limits_{k=1}^{n}k次元部分空間である。例えば、3×33 \times 3の場合、

W={[abc0de00f]} W = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix} \right\}

これを生成する集合は次の通りで、WWの次元は1+2+3=61 + 2 + 3 = 6である。

β={[100000000],[010000000],[001000000],[000010000],[000001000],[000000001]} \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \right. \\[1em] \qquad \qquad \left. \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}