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微分可能多様体のリッチ曲率 📂幾何学

微分可能多様体のリッチ曲率

定義1

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微分可能多様体 MMと点pMp \in Mにおける接空間 TpMT_{p}Mが与えられたとする。関数ffを以下のようにする。与えられたX,YTpMX, Y \in T_{p}Mに対して、

f:TpMTpMZR(X,Z)Y \begin{align*} f : T_{p}M &\to T_{p}M \\ Z &\mapsto R(X,Z)Y \end{align*}

この時、RRリーマン曲率である。すると、点ppでのリッチ曲率Ricci curvature Ric:TpM×TpMR\Ric : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}は次のように定義される。

Ric(X,Y)=Ricp(X,Y):=trf=tr(ZR(X,Z)Y) \Ric (X,Y) = \Ric_{p} (X,Y) := \tr f = \tr \left( Z \mapsto R(X,Z)Y \right)

この時、tr\tr線形変換のトレースである。

説明

Ric\Ricは定義によって双線型であるため、基底に関する値さえ分かっていればよい。{Xi=xi}\left\{ X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right\}TpMT_{p}Mの基底とする。すると、トレースの内積表現により、

Ric(Xi,Xj)=tr(ZR(Xi,Z)Xj)=g(R(Xi,Xk)Xj,Xl)gkl \Ric (X_{i}, X_{j}) = \tr (Z \mapsto R(X_{i}, Z)X_{j}) = g\left( R(X_{i}, X_{k})X_{j}, X_{l}\right)g^{kl}

前の内積はRikjlR_{ikjl}と表記される。 従って、

Ric(Xi,Xj)=Rikjlgkl=Rikjsgslgkl=Rikjsδsk=Rikjk \Ric (X_{i}, X_{j}) = R_{ikjl}g^{kl} = R_{ikj}^{s}g_{sl}g^{kl} = R_{ikj}^{s}\delta_{s}^{k} = R_{ikj}^{k}

この時、Rijkl=RijksgslR_{ijkl} = R_{ijk}^{s}g_{sl}であるため、リッチ曲率 Ric(Xi,Xj)=Rikjk\Ric (X_{i}, X_{j}) = R_{ikj}^{k}はリーマン曲率 RijklR_{ijkl}の第二と第四の成分に対して平均を取る意味を持つ。

Rijklglj=Rijksgslglj=Rijksδsj=Rijkj R_{ijkl}g^{lj} = R_{ijk}^{s}g_{sl}g^{lj} = R_{ijk}^{s}\delta_{s}^{j} = R_{ijk}^{j}

{Zi}\left\{ Z_{i} \right\}TpMT_{p}Mの正規直交基底とみなされる場合、gkl=δklg^{kl} = \delta_{kl}であるため、

Ric(X,Y)=g(R(X,Zk)Y,Zl)δkl=g(R(X,Zk)Y,Zk)=R(X,Zk,Y,Zk),X,YTpM \Ric (X, Y) = g\left( R(X, Z_{k})Y, Z_{l}\right)\delta_{kl} = g\left( R(X, Z_{k})Y, Z_{k}\right) = R(X, Z_{k}, Y, Z_{k}),\quad X, Y \in T_{p}M

また、Ric(X):=Ric(X,X)\Ric (X) := \Ric (X, X)を点ppでのXX方向のリッチ曲率Ricci curvature in the direction of XX at ppと呼ぶ。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p97-98 ↩︎ ↩︎