微分可能多様体のリッチ曲率
📂幾何学微分可能多様体のリッチ曲率
定義
微分可能多様体 Mと点p∈Mにおける接空間 TpMが与えられたとする。関数fを以下のようにする。与えられたX,Y∈TpMに対して、
f:TpMZ→TpM↦R(X,Z)Y
この時、Rはリーマン曲率である。すると、点pでのリッチ曲率Ricci curvature Ric:TpM×TpM→Rは次のように定義される。
Ric(X,Y)=Ricp(X,Y):=trf=tr(Z↦R(X,Z)Y)
この時、trは線形変換のトレースである。
説明
Ricは定義によって双線型であるため、基底に関する値さえ分かっていればよい。{Xi=∂xi∂}をTpMの基底とする。すると、トレースの内積表現により、
Ric(Xi,Xj)=tr(Z↦R(Xi,Z)Xj)=g(R(Xi,Xk)Xj,Xl)gkl
前の内積はRikjlと表記される。 従って、
Ric(Xi,Xj)=Rikjlgkl=Rikjsgslgkl=Rikjsδsk=Rikjk
この時、Rijkl=Rijksgslであるため、リッチ曲率 Ric(Xi,Xj)=Rikjkはリーマン曲率 Rijklの第二と第四の成分に対して平均を取る意味を持つ。
Rijklglj=Rijksgslglj=Rijksδsj=Rijkj
{Zi}がTpMの正規直交基底とみなされる場合、gkl=δklであるため、
Ric(X,Y)=g(R(X,Zk)Y,Zl)δkl=g(R(X,Zk)Y,Zk)=R(X,Zk,Y,Zk),X,Y∈TpM
また、Ric(X):=Ric(X,X)を点pでのX方向のリッチ曲率Ricci curvature in the direction of X at pと呼ぶ。