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部分空間の基底から拡張された基底への線形変換の行列表現 📂線形代数

部分空間の基底から拡張された基底への線形変換の行列表現

定理

W≤VW \le Vをnn次元 ベクトル空間のVVの部分空間とする。γ={v1,…,vk}\gamma = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots ,\mathbf{v}_{k} \right\}をWWの順序基底とする。β={v1,…,vk,vk+1,…vn}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}, \mathbf{v}_{k+1}, \dots \mathbf{v}_{n} \right\}をγ\gammaから拡張されたVVの基底という。T:V→VT : V \to Vを線形変換とする。それでは、β\betaに対するTTの行列表現は次のようなブロック行列である。

[T]β=[A1A2OA3] \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}

この時、A1=[T∣W]γA_{1} = \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma}であり、T∣W:W→WT|_{W} : W \to Wは縮小写像、A2A_{2}はk×n−kk \times n-k行列、A3A_{3}はn−k×n−kn-k \times n-k行列、OOはn−k×kn-k \times kゼロ行列である。

証明

T∣W:W→WT|_{W} : W \to Wを縮小写像とする。[T]β=[tij]\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = [t_{ij}]とする。

[T]β=[t11t12⋯t1nt21t22⋯t2n⋮⋮⋱⋮tn1tn2⋯tnn] \begin{align*} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{n1} & t_{n2} & \cdots & t_{nn} \end{bmatrix} \end{align*}

行列表現を見つけるためには、基底の元がどのようにマッピングされるかを知ればよい。つまり、[T]β\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}の第一列の成分ti1t_{i1}は、Tv1T\mathbf{v}_{1}をβ\betaの線型結合で表した時のvi\mathbf{v}_{i}の係数と同じである。しかしTv1=T∣Wv1T \mathbf{v}_{1} = T|_{W}\mathbf{v}_{1}であるため、

∑i=1nai1vi=Tv1=T∣Wv1=∑i=1kai1vi \sum_{i=1}^{n} a_{i1} \mathbf{v}_{i} = T\mathbf{v}_{1} = T|_{W}\mathbf{v}_{1} = \sum_{i=1}^{k} a_{i1} \mathbf{v}_{i}

従って、ak+1=ak+2=⋯=an=0a_{k+1} = a_{k+2} = \cdots = a_{n} = 0である。したがって、1≤i≤k1\le i \le kの時ti1=ai1t_{i1} = a_{i1}であり、k>ik \gt iの時ti1=0t_{i1} = 0である。

[T]β=[a11t12⋯t1na21t22⋯t2n⋮⋮⋱⋮ak1tk2⋯tkn0tk+1,2⋯tk+1,n⋮⋮⋱⋮0tm2⋯tmn] \begin{align*} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\ a_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & t_{k2} & \cdots & t_{kn} \\ 0 & t_{k+1,2} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & t_{m2} & \cdots & t_{mn} \end{bmatrix} \end{align*}

同じ方法でkk列目までの成分を全て求めると、以下のようになる。

[T]β=[a11a12⋯a1kt1,k+1⋯t1na21a22⋯a2kt2,k+1⋯t2n⋮⋮⋱⋮⋮⋱⋮ak1ak2⋯akktk,k+1⋯tkn00⋯0tk+1,k+1⋯tk+1,n⋮⋮⋱⋮⋮⋱⋮00⋯0tm,k+1⋯tmn] \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} & t_{1,k+1} & \cdots & t_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} & t_{2,k+1} & \cdots & t_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} & t_{k,k+1} & \cdots & t_{kn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & t_{k+1,k+1} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & t_{m,k+1} & \cdots & t_{mn} \end{bmatrix}

この時、A1=[aij]=[T∣W]γA_{1} = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma}であり、A2=[t1,k+1⋯t1n⋮⋱⋮tk,k+1⋯tkn]A_{2} = \begin{bmatrix} t_{1,k+1} & \cdots & t_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{k,k+1} & \cdots & t_{kn} \\ \end{bmatrix}、A3=[tk+11,k+1⋯tk+1,n⋮⋱⋮tm,k+1⋯tmn]A_{3} = \begin{bmatrix} t_{k+11,k+1} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{m,k+1} & \cdots & t_{mn} \\ \end{bmatrix}とすると、

[T]β=[A1A2OA3]=[[T∣W]γA2OA3] \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}

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