📂幾何学

微分多様体の断面曲率

整理¹

$\sigma \subset T_{p}M$を接空間$T_{p}M$の2次元部分空間としよう。$x, y \in \sigma$が線形独立であるとする。すると、次の$K$は$x, y$の選択に依存しない。

$$K(x, y) = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}}$$

この時、$R$はリーマン曲率テンソルだ。

説明

上の定理によると、$\sigma$が与えられた場合、$\sigma$のどのような基底に対しても$K$の値は同じである。したがって、$K$は次のように定義される。

定義

微分多様体$M$上の点$p \in M$と接空間の2次元部分空間$\sigma \subset T_{p}M$に対して、

$$K(\sigma) = K(x, y)$$

を$p$での$\sigma$の断面曲率^{sectional curvature}と言う。ここで$\left\{ x, y \right\}$は$\sigma$の任意の基底である。

証明

$\sigma$の基底$\left\{ x, y \right\}$を別の基底$\left\{ x^{\prime}, y^{\prime} \right\}$に変える次のような変換を考えよう。

$$\begin{align*} \left\{ x, y \right\} &\to \left\{ y, x \right\} \\ \left\{ x, y \right\} &\to \left\{ \lambda x, y \right\} \\ \left\{ x, y \right\} &\to \left\{ x + \lambda y, y \right\} \end{align*}$$

すると、$K$はこれらの変換に対して不変である。$R$の線形性と対称性により、

$$K(y, x) = \dfrac{R(y,x,y,x)}{\left\| y \times x \right\|^{2}} = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}} = K(x, y)$$

$$K(\lambda x, y) = \dfrac{R(\lambda x,y,\lambda x,y)}{\left\|\lambda x \times y \right\|^{2}} = \dfrac{\lambda^{2} R(x,y,x,y)}{\lambda^{2}\left\| x \times y \right\|^{2}} = \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}} = K(x, y)$$

$R$が対称であるため、$R(y,y,x,y) = R(x,y,y,y) = 0$であり、$y \times y = 0$であるため、

$$\begin{align*} K(x + \lambda y, y) &= \dfrac{R(x + \lambda y,y,x + \lambda y,y)}{\left\| (x + \lambda y) \times y \right\|^{2}} \\[1em] &= \dfrac{R(x,y,x,y)}{\left\| x \times y \right\|^{2}} \\[1em] &= K(x, y) \end{align*}$$

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