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リーマン曲率テンソルの対称性 📂幾何学

リーマン曲率テンソルの対称性

定義1

リーマン曲率テンソル RRをR:X(M)×X(M)×X(M)×X(M)→D(M)R: \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)に対して以下のように定義しよう。

R(X,Y,Z,W):=g(R(X,Y)Z,W)=⟨R(X,Y)Z,W⟩ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle

ここでX(M)\frak{X}(M)はMM上に定義された全てのベクトルフィールドの集合、D(M)\mathcal{D}(M)はMM上に定義された微分可能な関数の集合、ggはリーマン計量だ。

説明

表記法が重複して使用されていることに注意しよう。これは、二つの定義が実質的に同じものだからだ。

RRは以下のような対称性を持つが、これはレビ・チビタ接続の対称性と互換性に由来する。

性質

R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)=0R(X,Y,Z,W)=−R(Y,X,Z,W)R(X,Y,Z,W)=−R(X,Y,W,Z)R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y) \begin{align} R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) &= 0 \\ R(X, Y, Z, W) &= - R(Y, X, Z, W) \\ R(X, Y, Z, W) &= - R(X, Y, W, Z) \\ R(X, Y, Z, W) &= R(Z, W, X, Y) \end{align}

証明

(1)(1)

ビアンキの恒等式により成立する。

R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)=g(R(X,Y)Z,W)+g(R(Y,Z)X,W)+g(R(Z,X)Y,W)=g(R(X,Y)Z,W)+g(R(Y,Z)X,W)+g(R(Z,X)Y,W)=g(0,W)=0 \begin{align*} & R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) \\ =& g(R(X, Y)Z, W) + g(R(Y, Z)X, W) + g(R(Z, X)Y, W) \\ =& g\left( R(X, Y)Z, W) + g(R(Y, Z)X, W) + g(R(Z, X)Y, W \right) \\ =& g(0, W) \\ =& 0 \end{align*}

■

(2)(2)

曲率テンソル RRの定義により成立する。

R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W))=g(∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,W)=−g(∇X∇YZ−∇Y∇XZ+∇[Y,X]Z,W)=−g(R(Y,X)Z,W)=−R(Y,X,Z,W) \begin{align*} R(X, Y, Z, W) &= g\left( R(X, Y)Z, W \right)) \\ &= g\left( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X, Y]}Z, W \right) \\ &= - g\left( \nabla_{X}\nabla_{Y}Z - \nabla_{Y}\nabla_{X}Z + \nabla_{[Y, X]}Z, W \right) \\ &= - g\left( R(Y, X)Z, W \right) \\ &= - R(Y, X, Z, W) \end{align*}

■

(3)(3)

(2)(2)のように直接計算できるわけではない。まず、次のclaimを見よう。

Claim: R(X,Y,Z,Z)=0R(X, Y, Z, Z) = 0

R(X,Y,Z,Z)=g(∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,Z)=g(∇Y∇XZ,Z)−g(∇X∇YZ,Z)+g(∇[X,Y]Z,Z) \begin{align*} R(X, Y, Z, Z) &= g\left( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X, Y]}Z, Z \right) \\ &= g\left( \nabla_{Y}\nabla_{X}Z, Z \right) - g\left( \nabla_{X}\nabla_{Y}Z, Z \right) + g\left( \nabla_{[X, Y]}Z, Z \right) \end{align*}

このときレビ・チビタ接続は互換性があるので、次が成立する。

Yg(∇XZ,Z)=g(∇Y∇XZ,Z)+g(∇XZ,∇YZ)  ⟹  g(∇Y∇XZ,Z)=Yg(∇XZ,Z)−g(∇XZ,∇YZ) \begin{align*} && Y g(\nabla_{X}Z, Z) &= g(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z, Z) + g(\nabla_{X}Z, \nabla_{Y}Z) \\ \implies && g(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z, Z) &= Y g(\nabla_{X}Z, Z) - g(\nabla_{X}Z, \nabla_{Y}Z) \end{align*}

同様に、次も成立する。

Xg(∇YZ,Z)=g(∇X∇YZ,Z)+g(∇YZ,∇XZ)  ⟹  g(∇X∇YZ,Z)=Xg(∇YZ,Z)−g(∇YZ,∇XZ) \begin{align*} && X g(\nabla_{Y}Z, Z) &= g(\nabla_{X}\nabla_{Y}Z, Z) + g(\nabla_{Y}Z, \nabla_{X}Z) \\ \implies && g(\nabla_{X}\nabla_{Y}Z, Z) &= X g(\nabla_{Y}Z, Z) - g(\nabla_{Y}Z, \nabla_{X}Z) \end{align*}

[X,Y]g(Z,Z)=g(∇[X,Y]Z,Z)+g(Z,∇[X,Y]Z)  ⟹  g(∇[X,Y]Z,Z)=12[X,Y]g(Z,Z) \begin{align*} && [X, Y] g(Z, Z) &= g(\nabla_{[X, Y]}Z, Z) + g(Z, \nabla_{[X, Y]}Z) \\ \implies && g(\nabla_{[X, Y]}Z, Z) &= \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \end{align*}

これを代入すると、次を得る。

R(X,Y,Z,Z)=Yg(∇XZ,Z)−g(∇XZ,∇YZ)−Xg(∇YZ,Z)+g(∇YZ,∇XZ)+12[X,Y]g(Z,Z)=Yg(∇XZ,Z)−Xg(∇YZ,Z)+12[X,Y]g(Z,Z) \begin{align*} &R(X, Y, Z, Z) \\ =& Y g(\nabla_{X}Z, Z) - g(\nabla_{X}Z, \nabla_{Y}Z) - X g(\nabla_{Y}Z, Z) + g(\nabla_{Y}Z, \nabla_{X}Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ =& Y g(\nabla_{X}Z, Z) - X g(\nabla_{Y}Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \end{align*}

上でと同様に、∇\nablaが互換性があるので、次が成立する。

YXg(Z,Z)=Yg(∇XZ,Z)+Yg(Z,∇XZ)  ⟹  Yg(Z,∇XZ)=12YXg(Z,Z) YXg(Z, Z) = Yg(\nabla_{X}Z, Z) + Yg(Z, \nabla_{X}Z) \implies Yg(Z, \nabla_{X}Z) = \dfrac{1}{2}YXg(Z, Z)

したがって、次を得る。

R(X,Y,Z,Z)=12YXg(Z,Z)−12XYg(Z,Z)+12[X,Y]g(Z,Z)=12(YX−XY)g(Z,Z)+12[X,Y]g(Z,Z)=12[Y,X]g(Z,Z)+12[X,Y]g(Z,Z)=−12[X,Y]g(Z,Z)+12[X,Y]g(Z,Z)=0 \begin{align*} R(X, Y, Z, Z) &= \dfrac{1}{2}YXg(Z, Z) - \dfrac{1}{2}XYg(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= \dfrac{1}{2}(YX- XY)g(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= \dfrac{1}{2}[Y, X]g(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= - \dfrac{1}{2}[X, Y]g(Z, Z) + \dfrac{1}{2} [X, Y] g(Z, Z) \\ &= 0 \end{align*}

それから、交代関数の必要十分条件により、

R(X,Y,Z,W)=−R(X,Y,W,Z) R(X, Y, Z, W) = -R(X, Y, W, Z)

■

(4)(4)

まず、ビアンキの恒等式により、次が成立する。

R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)=0 R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) = 0

これら四つの変数をcyclicに変えると、同様にビアンキの恒等式から次の三つの式を得る。

R(Y,Z,W,X)+R(Z,W,Y,X)+R(Z,X,Y,X)=0R(Z,W,X,Y)+R(W,X,Z,Y)+R(X,Z,W,Y)=0R(W,X,Y,Z)+R(X,Y,W,Z)+R(Y,W,X,Z)=0 \begin{align*} R(Y, Z, W, X) + R(Z, W, Y, X) + R(Z, X, Y, X) &= 0 \\ R(Z, W, X, Y) + R(W, X, Z, Y) + R(X, Z, W, Y) &= 0 \\ R(W, X, Y, Z) + R(X, Y, W, Z) + R(Y, W, X, Z) &= 0 \end{align*}

これら四つの式を全て足し合わせると、証明された対称性により次のように消去される。

0=R(X,Y,Z,W)+R(Y,Z,X,W)+R(Z,X,Y,W)+R(Y,Z,W,X)+R(Z,W,Y,X)+R(W,Y,Z,X)+R(Z,W,X,Y)+R(W,X,Z,Y)+R(X,Z,W,Y)+R(W,X,Y,Z)+R(X,Y,W,Z)+R(Y,W,X,Z)=R(Z,X,Y,W)+R(W,Y,X,X)+R(X,Z,W,Y)+R(Y,W,X,Z)=(−1)(−1)R(X,Z,W,Y)+(−1)(−1)R(Y,W,X,Z)+R(X,Z,W,Y)+R(Y,W,X,Z) \begin{align*} &0 \\ =& {\color{red}\cancel{\color{black}R(X, Y, Z, W)}} + {\color{green}\cancel{\color{black}R(Y, Z, X, W)}} + R(Z, X, Y, W) \\ & + {\color{green}\cancel{\color{black}R(Y, Z, W, X)}} + {\color{orange}\cancel{\color{black}R(Z, W, Y, X)}} + R(W, Y, Z, X) \\ & + {\color{orange}\cancel{\color{black}R(Z, W, X, Y)}} + {\color{purple}\cancel{\color{black}R(W, X, Z, Y)}} + R(X, Z, W, Y) \\ & + {\color{purple}\cancel{\color{black}R(W, X, Y, Z)}} + {\color{red}\cancel{\color{black}R(X, Y, W, Z)}} + R(Y, W, X, Z) \\ =& R(Z, X, Y, W) + R(W, Y, X, X) + R(X, Z, W, Y) + R(Y, W, X, Z) \\ =& (-1)(-1)R(X, Z, W, Y) + (-1)(-1)R(Y, W, X, Z) + R(X, Z, W, Y) + R(Y, W, X, Z) \\ \end{align*}

したがって、次を得る。

2R(Y,W,X,Z)+2R(X,Z,W,Y)=0  ⟹  R(Y,W,X,Z)=−R(X,Z,W,Y)=R(X,Z,Y,W) \begin{align*} && 2R(Y, W, X, Z) + 2R(X, Z, W, Y) &= 0 \\ \implies && R(Y, W, X, Z) &= -R(X, Z, W, Y) \\ && &= R(X, Z, Y, W) \\ \end{align*}

■

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p91-92 ↩︎