ビアンキ恒等式
📂幾何学ビアンキ恒等式
定理
Rをリーマン曲率としよう。すると、次が成立する。
R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0
証明
特別な技術なしに、複雑だが難しくない計算で証明される。リーマン曲率の定義により、
R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z+∇Z∇YX−∇Y∇ZX+∇[Y,Z]X+∇X∇ZY−∇Z∇XY+∇[Z,X]Y
この時、∇はリーマン接続によって対称性を持つため、∇XY−∇YX=[X,Y]が成立する。したがって、まとめると、
==== R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y ∇Y[X,Z]+∇Z[Y,X]+∇X[Z,Y]+∇[X,Y]Z+∇[Y,Z]X+∇[Z,X]Y ∇Y[X,Z]+∇Z[Y,X]+∇X[Z,Y]−∇[Y,X]Z−∇[Z,Y]X−∇[X,Z]Y [Y,[X,Z]]+[Z,[Y,X]]+[X,[Z,Y]] 0
最後の等号はヤコビ恒等式によって成立する。
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