📂行列代数

べき乗行列

定義¹

ある行列 $n \times n$ $A$について、$A^{k} = O$を満たす正の数 $k$が存在する場合、$A$を冪零^nilpotentという。このとき$O$は$n \times n$零行列である。

説明

nilは「ゼロ」または「なし」を意味する。potentの意味は「強力な」であり、potentialの語根である。したがって、nilpotentという言葉は「$0$になる可能性/潜在力があるもの」と理解すればよい。「冪」は数学で冪乗を意味し、「零」は数字$0$を意味する。従って、冪零という言葉は文字通り「冪乗してゼロになる」という意味である。

定理

• [2]: 正方行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$の全ての固有値が$0$であることと、$A$が冪零行列であることは同値である。
  • つまり、冪零行列は逆行列が存在しない。

証明

1

数学的帰納法で示される。

[2] ²

$(\implies)$

$A$は正方行列であるため、あるユニタリ行列$Q$と上三角行列$T$に対して$A = Q T Q^{\ast}$のように表される。$A$の全ての固有値が$0$であるため、$T$は対角成分が全て$0$の上三角行列であり、正方上三角行列は冪零行列であるため、$T$はある$k \in \mathbb{N}$に対して$T^{k} = O$の冪零行列である。それゆえ少なくとも$k$に対して$A^{k} = Q T^{k} Q^{*} = O$となり、$A$も冪零行列である。

$(\impliedby)$

$A$を冪零行列とする。 $$ A^{k} = O $$ 行列の積の行列式は行列式の積と等しい、 $$ (\det(A))^{k} = \det(A^{k}) = \det(O) = 0 \implies \det(A) = 0 $$

■

3

証明は省略される³。

参考

• 冪零線形変換