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群論での交換子とは? 📂抽象代数

群論での交換子とは?

定義

GGの二つの元g,hGg, h \in Gに対して、g,hg, h交換子commutatorを次のように定義する。

[g,h]:=ghg1h1 [g,h] := ghg^{-1}h^{-1}

説明

定義に従い、全ての元に対して交換子が恒等元eeであることとGG可換群であることは同値である。

群論で言う交換子と量子力学、微分幾何などで登場する交換子はちょっと違う。量子力学、微分幾何での交換子は環論での交換子だ。