群 GGGの二つの元g,h∈Gg, h \in Gg,h∈Gに対して、g,hg, hg,hの交換子commutatorを次のように定義する。
[g,h]:=ghg−1h−1 [g,h] := ghg^{-1}h^{-1} [g,h]:=ghg−1h−1
定義に従い、全ての元に対して交換子が恒等元eeeであることとGGGが可換群であることは同値である。
群論で言う交換子と量子力学、微分幾何などで登場する交換子はちょっと違う。量子力学、微分幾何での交換子は環論での交換子だ。