📂幾何学

レヴィチビタ接続、リーマン接続、接続の係数、クリストッフェル記号

定理¹

$(M,g)$をリーマン多様体とする。すると、次を満たす$M$上のアフィン接続$\nabla$が唯一に存在する。

• $\nabla$が対称的である。
• $\nabla$が$g$と両立可能である。

このような$\nabla$は具体的に以下の式を満たす。

$$ \begin{align*} g(Z, \nabla_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \tag{1} \end{align*} $$

説明

このような接続$\nabla$をレヴィ-チヴィタ(またはリーマン)接続と言う。

接ベクトル空間の基底を$\left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} \overset{\text{denote}}{=} \left\{ X_{i} \right\}$として表示しよう。接続の定義により$\nabla_{X_{i}}X_{j}$自体もベクトル場である。したがって$X_{k}$の線形結合で表せる。アインシュタインの表記法により、

$$ \nabla_{X_{i}}X_{j} = \sum_{k}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k} $$

このベクトル場は$X_{i}, X_{j}$によって決まるので、係数を$\Gamma_{ij}^{k}$と表示しよう。これを接続の係数またはクリストッフェル記号と言う。微分幾何学では、クリストッフェル記号を座標切片写像$\mathbf{x}$の2次導関数$\mathbf{x}_{ij}$の係数と定義しているが、これらが同じであることが示される。$(1)$の左辺に$X_{i}, X_{j}, X_{k}$を代入してみると、

$$ \begin{align*} g(\nabla_{X_{j}}X_{i}, X_{k}) = g\left( \Gamma_{ji}^{l}X_{l}, X_{k} \right) = \Gamma_{ji}^{l}g_{lk} \end{align*} $$

右辺を計算すると、$[X_{i}, X_{j}] = 0$となるので、

$$ \begin{align*} & \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g(X_{j}, X_{k}) + X_{j}g(X_{i}, X_{k}) - X_{k}g(X_{i}, X_{j}) \right) \\ =& \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \end{align*} $$

従って、

$$ \begin{align*} && \Gamma_{ji}^{l}g_{lk} &= \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \sum_{k}\Gamma_{ji}^{l}g_{lk}g^{ks} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \Gamma_{ji}^{l}\delta_{l}^{s} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \Gamma_{ji}^{s} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \end{align*} $$

従って、まとめると次を得る。

$$ \Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2}g^{mk}\left( \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}g_{jm} + \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}g_{im} - \dfrac{\partial }{\partial x_{m}}g_{ij} \right) $$

これは、微分幾何学で$\mathbb{R}^{3}$上の曲面に対して得られた式と同じである。特に、ユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$では、メトリックが$g_{ij} = \delta_{ij}$として定数であるため、$\Gamma_{ij}^{k} = 0$である。

最初にアフィン接続を定義するとき、$\nabla_{X}Y$は明示的に与えられず、特定の性質を満たす抽象的な概念としてのみ定義された。しかし、このような接続$\nabla$にリーマンメトリック$g$が与えられると、メトリックの係数$g_{ij}$によって$\nabla_{X}Y$が明確に決まることがわかる。$X = u^{i}X_{i}, Y= v^{j}X_{j}$と表示すると、

$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y = \nabla_{u^{i}X_{i}}v^{j}X_{j} &= u^{i}X_{i}(v^{j})X_{j} + u^{i}v^{j}\nabla_{X_{i}}X_{j} \\ &= u^{i}X_{i}(v^{j})X_{j} + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} \\ &= u^{i}X_{i}(v^{k})X_{k} + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} \\ &= \left( u^{i}X_{i}(v^{k}) + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)X_{k} \\ &= \left( u^{i}X_{i}(v^{k}) + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)X_{k} \\ \end{align*} $$

$X = X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}, Y = Y^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$と表示すると、

$$ \begin{align*} \nabla_{X}Y &= \left( X^{i}\dfrac{\partial Y^{k}}{\partial x_{i}} + X^{i}Y^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{i,k}\left( X^{i}\dfrac{\partial Y^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Y^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \end{align*} $$

また、ベクトル場$V = v^{j}X_{j}$の共変微分は以下の通りである。

$$ \dfrac{DV}{dt} = \sum_{k} \left( \dfrac{d v^{k}}{dt} + \sum_{i,j} v^{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \right) X_{k} $$

証明

• Part 1. 唯一性

  定理の条件を満たす接続$\nabla$が存在すると仮定しよう。すると$\nabla$が両立可能であるため、ベクトル場$X,Y,Z \in$$\mathfrak{X}(M)$に対して次が成り立つ。

  $$ \begin{align*} X g(Y, Z) =&\ g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Y, \nabla_{X}Z) \\ Y g(Z, X) =&\ g(\nabla_{Y}Z, X) + g(Z, \nabla_{Y}X) \\ Z g(X, Y) =&\ g(\nabla_{Z}X, Y) + g(X, \nabla_{Z}Y) \\ \end{align*} $$

  最初の式と2番目の式を加えて、3番目の式を引くと、$\nabla$が対称的であるため、次を得る。

  $$ \begin{align*} &\ X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ =&\ g(\nabla_{X}Y, Z) + {\color{red}g(Y, \nabla_{X}Z)} + {\color{blue}g(\nabla_{Y}Z, X)} + g(Z, \nabla_{Y}X) - {\color{red}g(\nabla_{Z}X, Y)} - {\color{blue}g(X, \nabla_{Z}Y)} \\ =&\ {\color{red}g(\nabla_{X}Z-\nabla_{Z}X, Y)} + {\color{blue}g(\nabla_{Y}Z - \nabla_{Z}Y, X)} + g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Z, \nabla_{Y}X) \\ =&\ g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Z, \nabla_{Y}X) \end{align*} $$

  これに$0=g(\nabla_{Y}X, Z)-g(\nabla_{Y}X, Z)$を加えて整理すると

  $$ X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ = g([X, Z], Y) + g([Y, Z], X) + g([X, Y], Z) + 2g(Z, \nabla_{Y}X) $$

  右辺の最後の項を基準に整理すると次のようになる。

  $$ \begin{align*} g(Z, \nabla_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \tag{1} \end{align*} $$

  現にこのような別の接続$\nabla^{\prime}$が存在するとしよう。

  $$ \begin{align*} g(Z, \nabla^{\prime}_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \end{align*} $$

  これら2つの式を引くと、

  $$ g(Z, \nabla_{Y}X)-g(Z, \nabla^{\prime}_{Y}X) = g(Z, \nabla_{Y}X - \nabla^{\prime}_{Y}X) = 0 $$

  内積の性質によって、上の式がすべての$Z$に対して成り立つためには、$\nabla_{Y}X - \nabla^{\prime}_{Y}X=0$でなければならない。したがって、このような接続$\nabla$は唯一である。

  $$ \nabla_{Y}X = \nabla^{\prime}_{Y}X $$

• Part 2. 存在性

  $\nabla$を$(1)$のように定義すると、よく定義されており、定理の条件をよく満たしていることがわかる。

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