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レヴィチビタ接続、リーマン接続、接続の係数、クリストッフェル記号 📂幾何学

レヴィチビタ接続、リーマン接続、接続の係数、クリストッフェル記号

定理1

(M,g)(M,g)リーマン多様体とする。すると、次を満たすMM上のアフィン接続\nabla唯一に存在する。

このような\nablaは具体的に以下の式を満たす。

g(Z,YX)= 12(Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)Zg(X,Y) g([X,Z],Y)g([Y,Z],X)g([X,Y],Z)) \begin{align*} g(Z, \nabla_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \tag{1} \end{align*}

説明

このような接続\nablaレヴィ-チヴィタ(またはリーマン)接続と言う。

接ベクトル空間の基底を{xi}=denote{Xi}\left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} \overset{\text{denote}}{=} \left\{ X_{i} \right\}として表示しよう。接続の定義によりXiXj\nabla_{X_{i}}X_{j}自体もベクトル場である。したがってXkX_{k}の線形結合で表せる。アインシュタインの表記法により、

XiXj=kΓijkXk=ΓijkXk \nabla_{X_{i}}X_{j} = \sum_{k}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}

このベクトル場はXi,XjX_{i}, X_{j}によって決まるので、係数をΓijk\Gamma_{ij}^{k}と表示しよう。これを接続の係数またはクリストッフェル記号と言う。微分幾何学では、クリストッフェル記号を座標切片写像x\mathbf{x}の2次導関数xij\mathbf{x}_{ij}の係数と定義しているが、これらが同じであることが示される。(1)(1)の左辺にXi,Xj,XkX_{i}, X_{j}, X_{k}を代入してみると、

g(XjXi,Xk)=g(ΓjilXl,Xk)=Γjilglk \begin{align*} g(\nabla_{X_{j}}X_{i}, X_{k}) = g\left( \Gamma_{ji}^{l}X_{l}, X_{k} \right) = \Gamma_{ji}^{l}g_{lk} \end{align*}

右辺を計算すると、[Xi,Xj]=0[X_{i}, X_{j}] = 0となるので、

12(Xig(Xj,Xk)+Xjg(Xi,Xk)Xkg(Xi,Xj))=12(Xigjk+XjgikXkgij) \begin{align*} & \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g(X_{j}, X_{k}) + X_{j}g(X_{i}, X_{k}) - X_{k}g(X_{i}, X_{j}) \right) \\ =& \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \end{align*}

従って、

Γjilglk=12(Xigjk+XjgikXkgij)    kΓjilglkgks=k12gks(Xigjk+XjgikXkgij)    Γjilδls=k12gks(Xigjk+XjgikXkgij)    Γjis=k12gks(Xigjk+XjgikXkgij) \begin{align*} && \Gamma_{ji}^{l}g_{lk} &= \dfrac{1}{2}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \sum_{k}\Gamma_{ji}^{l}g_{lk}g^{ks} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \Gamma_{ji}^{l}\delta_{l}^{s} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \implies && \Gamma_{ji}^{s} &= \sum_{k}\dfrac{1}{2}g^{ks}\left( X_{i}g_{jk} + X_{j}g_{ik} - X_{k}g_{ij} \right) \\ \end{align*}

従って、まとめると次を得る。

Γijk=12gmk(xigjm+xjgimxmgij) \Gamma_{ij}^{k} = \dfrac{1}{2}g^{mk}\left( \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}g_{jm} + \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}g_{im} - \dfrac{\partial }{\partial x_{m}}g_{ij} \right)

これは、微分幾何学でR3\mathbb{R}^{3}上の曲面に対して得られた式と同じである。特に、ユークリッド空間Rn\mathbb{R}^{n}では、メトリックがgij=δijg_{ij} = \delta_{ij}として定数であるため、Γijk=0\Gamma_{ij}^{k} = 0である。

最初にアフィン接続を定義するとき、XY\nabla_{X}Yは明示的に与えられず、特定の性質を満たす抽象的な概念としてのみ定義された。しかし、このような接続\nablaにリーマンメトリックggが与えられると、メトリックの係数gijg_{ij}によってXY\nabla_{X}Yが明確に決まることがわかる。X=uiXi,Y=vjXjX = u^{i}X_{i}, Y= v^{j}X_{j}と表示すると、

XY=uiXivjXj=uiXi(vj)Xj+uivjXiXj=uiXi(vj)Xj+uivjΓijkXk=uiXi(vk)Xk+uivjΓijkXk=(uiXi(vk)+uivjΓijk)Xk=(uiXi(vk)+uivjΓijk)Xk \begin{align*} \nabla_{X}Y = \nabla_{u^{i}X_{i}}v^{j}X_{j} &= u^{i}X_{i}(v^{j})X_{j} + u^{i}v^{j}\nabla_{X_{i}}X_{j} \\ &= u^{i}X_{i}(v^{j})X_{j} + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} \\ &= u^{i}X_{i}(v^{k})X_{k} + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}X_{k} \\ &= \left( u^{i}X_{i}(v^{k}) + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)X_{k} \\ &= \left( u^{i}X_{i}(v^{k}) + u^{i}v^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)X_{k} \\ \end{align*}

X=Xixi,Y=YixjX = X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}, Y = Y^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}と表示すると、

XY=(XiYkxi+XiYjΓijk)xk=i,k(XiYkxi+jXiYjΓijk)xk \begin{align*} \nabla_{X}Y &= \left( X^{i}\dfrac{\partial Y^{k}}{\partial x_{i}} + X^{i}Y^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{i,k}\left( X^{i}\dfrac{\partial Y^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Y^{j}\Gamma_{ij}^{k}\right)\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \end{align*}

また、ベクトル場V=vjXjV = v^{j}X_{j}共変微分は以下の通りである。

DVdt=k(dvkdt+i,jvjdcidtΓijk)Xk \dfrac{DV}{dt} = \sum_{k} \left( \dfrac{d v^{k}}{dt} + \sum_{i,j} v^{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \right) X_{k}

証明

  • Part 1. 唯一性

    定理の条件を満たす接続\nablaが存在すると仮定しよう。すると\nablaが両立可能であるため、ベクトル場X,Y,ZX,Y,Z \inX(M)\mathfrak{X}(M)に対して次が成り立つ。

    Xg(Y,Z)= g(XY,Z)+g(Y,XZ)Yg(Z,X)= g(YZ,X)+g(Z,YX)Zg(X,Y)= g(ZX,Y)+g(X,ZY) \begin{align*} X g(Y, Z) =&\ g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Y, \nabla_{X}Z) \\ Y g(Z, X) =&\ g(\nabla_{Y}Z, X) + g(Z, \nabla_{Y}X) \\ Z g(X, Y) =&\ g(\nabla_{Z}X, Y) + g(X, \nabla_{Z}Y) \\ \end{align*}

    最初の式と2番目の式を加えて、3番目の式を引くと、\nablaが対称的であるため、次を得る。

     Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)Zg(X,Y)= g(XY,Z)+g(Y,XZ)+g(YZ,X)+g(Z,YX)g(ZX,Y)g(X,ZY)= g(XZZX,Y)+g(YZZY,X)+g(XY,Z)+g(Z,YX)= g([X,Z],Y)g([Y,Z],X)g(XY,Z)+g(Z,YX) \begin{align*} &\ X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ =&\ g(\nabla_{X}Y, Z) + {\color{red}g(Y, \nabla_{X}Z)} + {\color{blue}g(\nabla_{Y}Z, X)} + g(Z, \nabla_{Y}X) - {\color{red}g(\nabla_{Z}X, Y)} - {\color{blue}g(X, \nabla_{Z}Y)} \\ =&\ {\color{red}g(\nabla_{X}Z-\nabla_{Z}X, Y)} + {\color{blue}g(\nabla_{Y}Z - \nabla_{Z}Y, X)} + g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Z, \nabla_{Y}X) \\ =&\ g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g(\nabla_{X}Y, Z) + g(Z, \nabla_{Y}X) \end{align*}

    これに0=g(YX,Z)g(YX,Z)0=g(\nabla_{Y}X, Z)-g(\nabla_{Y}X, Z)を加えて整理すると

    Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)Zg(X,Y)=g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)+g([X,Y],Z)+2g(Z,YX) X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ = g([X, Z], Y) + g([Y, Z], X) + g([X, Y], Z) + 2g(Z, \nabla_{Y}X)

    右辺の最後の項を基準に整理すると次のようになる。

    g(Z,YX)= 12(Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)Zg(X,Y) g([X,Z],Y)g([Y,Z],X)g([X,Y],Z)) \begin{align*} g(Z, \nabla_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \tag{1} \end{align*}

    現にこのような別の接続\nabla^{\prime}が存在するとしよう。

    g(Z,YX)= 12(Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)Zg(X,Y) g([X,Z],Y)g([Y,Z],X)g([X,Y],Z)) \begin{align*} g(Z, \nabla^{\prime}_{Y}X) =&\ \dfrac{1}{2}\Big( X g(Y, Z) + Y g(Z, X) - Z g(X, Y) \\ &\ - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X) - g([X, Y], Z) \Big) \end{align*}

    これら2つの式を引くと、

    g(Z,YX)g(Z,YX)=g(Z,YXYX)=0 g(Z, \nabla_{Y}X)-g(Z, \nabla^{\prime}_{Y}X) = g(Z, \nabla_{Y}X - \nabla^{\prime}_{Y}X) = 0

    内積の性質によって、上の式がすべてのZZに対して成り立つためには、YXYX=0\nabla_{Y}X - \nabla^{\prime}_{Y}X=0でなければならない。したがって、このような接続\nablaは唯一である。

    YX=YX \nabla_{Y}X = \nabla^{\prime}_{Y}X

  • Part 2. 存在性

    \nabla(1)(1)のように定義すると、よく定義されており、定理の条件をよく満たしていることがわかる。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p55-56 ↩︎