Part 1. 唯一性
定理の条件を満たす接続∇が存在すると仮定しよう。すると∇が両立可能であるため、ベクトル場X,Y,Z∈X(M)に対して次が成り立つ。
Xg(Y,Z)=Yg(Z,X)=Zg(X,Y)= g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ) g(∇YZ,X)+g(Z,∇YX) g(∇ZX,Y)+g(X,∇ZY)
最初の式と2番目の式を加えて、3番目の式を引くと、∇が対称的であるため、次を得る。
=== Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y) g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ)+g(∇YZ,X)+g(Z,∇YX)−g(∇ZX,Y)−g(X,∇ZY) g(∇XZ−∇ZX,Y)+g(∇YZ−∇ZY,X)+g(∇XY,Z)+g(Z,∇YX) g([X,Z],Y)−g([Y,Z],X)−g(∇XY,Z)+g(Z,∇YX)
これに0=g(∇YX,Z)−g(∇YX,Z)を加えて整理すると
Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y)=g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)+g([X,Y],Z)+2g(Z,∇YX)
右辺の最後の項を基準に整理すると次のようになる。
g(Z,∇YX)= 21(Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y) −g([X,Z],Y)−g([Y,Z],X)−g([X,Y],Z))(1)
現にこのような別の接続∇′が存在するとしよう。
g(Z,∇Y′X)= 21(Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y) −g([X,Z],Y)−g([Y,Z],X)−g([X,Y],Z))
これら2つの式を引くと、
g(Z,∇YX)−g(Z,∇Y′X)=g(Z,∇YX−∇Y′X)=0
内積の性質によって、上の式がすべてのZに対して成り立つためには、∇YX−∇Y′X=0でなければならない。したがって、このような接続∇は唯一である。
∇YX=∇Y′X