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接続の対称性 📂幾何学

接続の対称性

定義1

微分多様体 MM 上の アフィン接続 ∇\nablaが次を満たすとき、対称symmetricという。

∇XY−∇YX=[X,Y]∀X,Y∈X(M) \nabla_{X}Y - \nabla_{Y} X = \left[ X, Y \right] \quad \forall X,Y \in \mathfrak{X}(M)

ここで、X(M)\mathfrak{X}(M)はMM上のベクトル場の集合であり、[⋅,⋅][ \cdot, \cdot]はリー括弧である。

説明

ユークリッド空間を例にしよう。Rn\mathbb{R}^{n}の座標系 (U,x)(U, \mathbf{x})を考える。これを、

∇XiXj−∇XjXi=[Xi,Xj]=XiXj−XjXi=∂2∂xixj−∂2∂xjxi=0  ⟹  ∇XiXj=∇XjXk \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = [X_{i}, X_{j}] = X_{i}X_{j} - X_{j}X_{i} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{i}x_{j}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{j}x_{i}} = 0 \\ \implies \nabla_{X_{i}}X_{j} = \nabla_{X_{j}}X_{k}

と表記すると、

また、∇XiXj=ΓijkXk\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}なので、

∇XiXj−∇XjXi=ΓijkXk−ΓjikXk=(Γijk−Γjik)Xk=0 \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k} - \Gamma_{ji}^{k}X_{k} = (\Gamma_{ij}^{k} - \Gamma_{ji}^{k})X_{k} = 0

したがって、Γijk=Γjik\Gamma_{ij}^{k} = \Gamma_{ji}^{k}が成立する。

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p54 ↩︎