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固有値の代数的重複度はその幾何的重複度以上である 📂行列代数

固有値の代数的重複度はその幾何的重複度以上である

概要

matrix A∈Cm×mA \in \mathbb{C}^{ m \times m} の eigenvalue λ\lambda が、代数的重複度 aa と幾何学的重複度 gg を持つ場合、a≥ga \ge g である。

説明

eigenvalueの代数的重複度と幾何学的重複度が同じである保証はない。もしそうだったら、最初から異なって定義することはなかっただろう。ただ、一つ確信できることは、代数的重複度がどれだけ小さくても、幾何学的重複度よりは大きい、または同じであるという事実だ。

証明

表記：便宜上、与えられた行列に対するrow spaceのbasisを、行列の基底としよう。m∈Nm \in \mathbb{N} と言う時、m×mm \times m の大きさを持つidentity matrixを意味する。インデックスが省略されている場合は、文脈上、操作されている行列のサイズに応じて考えればいい。

仮定により、以下が成り立つ。

g=dim⁡sp{x1,x2,⋯ ,xg}=dim⁡Sλ=dim⁡{x∈Cm ∣ Ax=λx} g = \dim \text{sp} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} \right\} = \dim S_{\lambda} = \dim \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{ m } \ | \ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \right\}

つまり、1≤i≤g1 \le i \le g に対して、Axi=λxiA \mathbf{x}_{i} = \lambda \mathbf{x}_{i} である。今、行列 AA の基底が {x1,x2,⋯ ,xg,y1,y2,⋯ ,ym−g} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} , \mathbf{y}_{1} , \mathbf{y}_{2} , \cdots , \mathbf{y}_{m-g} \right\} ならば、P=[x1x2⋯xgy1y2⋯ym−g]P = \begin{bmatrix}\mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \cdots & \mathbf{x}_{g} & \mathbf{y}_{1} & \mathbf{y}_{2} & \cdots & \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} はinvertible matrixである。

AP=A[x1⋯ym−g]=[Ax1Ax2⋯AxgAy1Ay2⋯Aym−g]=[λx1λx2⋯λxgAy1Ay2⋯Aym−g]=[x1⋯ym−g][λIgBOC] \begin{align*} AP =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1} & A \mathbf{x}_{2} & \cdots & A \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda \mathbf{x}_{1} & \lambda \mathbf{x}_{2} & \cdots & \lambda \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix} \end{align*}

ここで、B∈Cg×(m−g),C∈C(m−g)×(m−g)B \in \mathbb{C}^{ g \times (m-g) }, C \in \mathbb{C}^{ (m-g) \times (m-g) } であり、OO は(m−g)×g(m-g) \times g zero matrixである。D=[λIgBOC]D = \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix} とすると、AP=PDAP = PD であり、PP はinvertible matrixであるから、 A=PDP−1 A = PDP^{-1} また、行列 AA と DD が類似しているので、 det⁡(A−μI)=det⁡(D−μI)=det⁡[(λ−μ)IgBOC−μIm−g]=(λ−μ)gdet⁡(C−μIm−g) \begin{align*} \det (A - \mu I) =& \det (D - \mu I) \\ =& \det \begin{bmatrix} (\lambda - \mu) I_{g} & B \\ O & C - \mu I_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& (\lambda - \mu)^{g} \det ( C - \mu I_{m-g} ) \end{align*}

特性方程式 det⁡(A−μI)=0\det (A - \mu I) = 0 を満たす根のうち、μ=λ\mu = \lambda は少なくとも幾何学的重複度 gg を持つ。したがって、λ\lambda の代数的重複度 aa は、gg 以上である。

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