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リーマン多様体上の等距離写像と局所等距離写像 📂幾何学

リーマン多様体上の等距離写像と局所等距離写像

等距離写像1

(M,g),(N,h)(M, g), (N, h)リーマン多様体としよう。微分同相写像f:MNf : M \to Nについて、以下が成り立つ場合、ff等距離写像isometryと呼ぶ。

g(u,v)p=h(dfp(u),dfp(v))f(p),pM,u,vTpM \begin{equation} g(u, v)_{p} = h\left( df_{p}(u), df_{p}(v) \right)_{f(p)},\quad \forall p\in M,\quad u,v\in T_{p}M \end{equation}

または

u,vp=dfp(u),dfp(v)f(p),pM,u,vTpM \left\langle u, v \right\rangle_{p} = \left\langle df_{p}(u), df_{p}(v) \right\rangle_{f(p)},\quad \forall p\in M,\quad u,v\in T_{p}M

ここで、dfp:TpMTf(p)Ndf_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}Nff微分だ。

局所等距離写像

(M,g),(N,h)(M, g), (N, h)リーマン多様体としよう。以下の条件が満たされる場合、微分可能な関数f:MNf : M \to NpMp \in Mでの局所等距離写像local isometryと言う。

f:Uf(U)f : U \to f(U)(1)(1)を満たすようなppの近傍UMU \subset Mが存在する。

また、すべての点ppに対して局所等距離写像f:Uf(U)Nf : U \to f(U) \subset Nが存在する場合、リーマン多様体MMNN局所的に等距離locally isometricだと言われる。

埋め込まれた多様体immersed manifold

f:MnNn+kf : M^{n} \to N^{n+k}埋め込みとしよう。つまり、すべてのpMp \in Mに対して、ffの微分dfp:TpMTf(p)Nd_{f}p : T_{p}M \to T_{f(p)}N単射である。NNリーマン計量hhを持つ場合、次のように定義されるffから導かれるMM上の計量ggを考えることができる。

g(u,v)p=h(dfp(u),dfp(v))f(p),u,vTpM g(u, v)_{p} = h\left( df_{p}(u), df_{p}(v) \right)_{f(p)},\quad u,v \in T_{p}M

この場合、ff等距離埋め込みisometry immersionと呼ばれる。


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p38-39 ↩︎