リーマン多様体上の等距離写像と局所等距離写像
📂幾何学リーマン多様体上の等距離写像と局所等距離写像
等距離写像
(M,g),(N,h)をリーマン多様体としよう。微分同相写像f:M→Nについて、以下が成り立つ場合、fを等距離写像isometryと呼ぶ。
g(u,v)p=h(dfp(u),dfp(v))f(p),∀p∈M,u,v∈TpM
または
⟨u,v⟩p=⟨dfp(u),dfp(v)⟩f(p),∀p∈M,u,v∈TpM
ここで、dfp:TpM→Tf(p)Nはfの微分だ。
局所等距離写像
(M,g),(N,h)をリーマン多様体としよう。以下の条件が満たされる場合、微分可能な関数f:M→Nをp∈Mでの局所等距離写像local isometryと言う。
f:U→f(U)が(1)を満たすようなpの近傍U⊂Mが存在する。
また、すべての点pに対して局所等距離写像f:U→f(U)⊂Nが存在する場合、リーマン多様体MとNは局所的に等距離locally isometricだと言われる。
埋め込まれた多様体immersed manifold
f:Mn→Nn+kを埋め込みとしよう。つまり、すべてのp∈Mに対して、fの微分dfp:TpM→Tf(p)Nが単射である。Nがリーマン計量hを持つ場合、次のように定義されるfから導かれるM上の計量gを考えることができる。
g(u,v)p=h(dfp(u),dfp(v))f(p),u,v∈TpM
この場合、fは等距離埋め込みisometry immersionと呼ばれる。