📂幾何学

リーマン多様体上の等距離写像と局所等距離写像

等距離写像¹

$(M, g), (N, h)$をリーマン多様体としよう。微分同相写像$f : M \to N$について、以下が成り立つ場合、$f$を等距離写像^isometryと呼ぶ。

$$ \begin{equation} g(u, v)_{p} = h\left( df_{p}(u), df_{p}(v) \right)_{f(p)},\quad \forall p\in M,\quad u,v\in T_{p}M \end{equation} $$

または

$$ \left\langle u, v \right\rangle_{p} = \left\langle df_{p}(u), df_{p}(v) \right\rangle_{f(p)},\quad \forall p\in M,\quad u,v\in T_{p}M $$

ここで、$df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N$は$f$の微分だ。

局所等距離写像

$(M, g), (N, h)$をリーマン多様体としよう。以下の条件が満たされる場合、微分可能な関数$f : M \to N$を$p \in M$での局所等距離写像^{local isometry}と言う。

$f : U \to f(U)$が$(1)$を満たすような$p$の近傍$U \subset M$が存在する。

また、すべての点$p$に対して局所等距離写像$f : U \to f(U) \subset N$が存在する場合、リーマン多様体$M$と$N$は局所的に等距離^{locally isometric}だと言われる。

埋め込まれた多様体^{immersed manifold}

$f : M^{n} \to N^{n+k}$を埋め込みとしよう。つまり、すべての$p \in M$に対して、$f$の微分$d_{f}p : T_{p}M \to T_{f(p)}N$が単射である。$N$がリーマン計量$h$を持つ場合、次のように定義される$f$から導かれる$M$上の計量$g$を考えることができる。

$$ g(u, v)_{p} = h\left( df_{p}(u), df_{p}(v) \right)_{f(p)},\quad u,v \in T_{p}M $$

この場合、$f$は等距離埋め込み^{isometry immersion}と呼ばれる。