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任意の演算子に対して常にエルミート形式 📂量子力学

任意の演算子に対して常にエルミート形式

式

任意の演算子 AA に対して、以下の形は常にエルミート演算子だ。

A+A†(1) A + A^{\dagger} \tag{1}

i(A−A†)(2) \i (A - A^{\dagger}) \tag{2}

AA†(3) A A^{\dagger} \tag{3}

証明

元の式に共役転置 †^{\dagger}を取っても元の形であることを示せば証明が終わり。

(1)

(A+A†)†=A†+(A†)†=A†+A=A+A† (A+A^{\dagger})^{\dagger}=A^{\dagger}+{(A^{\dagger})}^{\dagger}=A^{\dagger}+A=A+A^{\dagger}

■

(2)

[i(A−A†)]†=−i[A†−(A†)†]=−i(A†−A)=i(A−A†) [\i(A-A^{\dagger}) ]^{\dagger} = -\i\left[ A^{\dagger}-{(A^{\dagger})}^{\dagger} \right] = -\i(A^{\dagger}-A) = \i(A-A^{\dagger})

■

(3)

(AA†)†=(A†)†A†=AA† (AA^{\dagger})^{\dagger}={(A^{\dagger})}^{\dagger} A^{\dagger}=AA^{\dagger}

■