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微分幾何学におけるプルバック 📂幾何学

微分幾何学におけるプルバック

概要

微分多様体上のプルバックを定義する。微分多様体が難しい場合は、M=RmM = \mathbb{R}^{m}N=RnN = \mathbb{R}^{n}と考えてもよい。

定義1

二つの微分多様体 M,NM, N微分可能な関数 f:MNf : M \to Nが与えられたとする。そこで、NNkk-形式MMkk-形式に送る関数ff^{\ast}を考えることができる。ω\omegaを多様体NNkk-形式とするとき、多様体MMkk-形式fωf^{\ast}\omegaω\omegaプルバックpull back, 引き戻しと呼び、以下のように定義する。

(fω)(p)(v1,,vk):=ω(f(p))(dfpv1,,dfpvk),viTpM \begin{equation} (f^{\ast}\omega)(p) (v_{1}, \dots, v_{k}) := \omega (f(p))\left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right),\quad v_{i} \in T_{p}M \end{equation}

説明

プルバックという名前には、(ffMMからNNへのマッピングであるのに対して)ff^{\ast}NNからMMへのマッピングであるという意味がある。定義と表記法がかなり難しいが、少しずつ理解していこう。

  • ff^{\ast}

ff^{\ast}NNkk-形式をMMkk-形式に送るマップである。したがって、ω\omegaNNkk-形式とすると、fω=f(ω)f^{\ast}\omega = f^{\ast}(\omega)MMkk-形式である。

  • fω(p)f^{\ast}\omega (p)

多様体MM上のkk-形式は、pMp \in MΛk(TpM)\Lambda^{k}(T_{p}^{\ast}M)の元にマッピングする。

fω:MΛk(TpM) f^{\ast}\omega : M \to \Lambda^{k}(T_{p}^{\ast}M)

Λk(TpM):={φ:TpM××TpMk timesR  φ is k-linear alternating map} \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\}

つまり、fω(p)Λk(TpM)f^{\ast}\omega (p) \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)もまた、一つの関数である。Λk(TpM)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)の定義により、fω(p)f^{\ast}\omega (p)は「pp上の接ベクトル」kk個を変数とする。これで、(1)(1)はこの関数の関数値を具体的に定義した式であることがわかる。f(p)f^{\ast}(p)自体が一つの関数であることをより強調するため、以下のような表記を使うことにしよう。

(fω)p=fω(p) (f^{\ast}\omega)_{p} = f^{\ast}\omega (p)

  • ω(f(p))\omega (f(p))

ω\omegaNNkk-形式であるため、NNの点f(p)f(p)Λk(Tf(p)N)\Lambda^{k}(T_{f(p)}^{\ast}N)の元にマッピングする。

Λk(Tf(p)N):={φ:Tf(p)N××Tf(p)Nk timesR  φ is k-linear alternating map} \Lambda^{k} (T_{f(p)}^{\ast}N) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{f(p)}N \times \cdots \times T_{f(p)}N}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\}

Λk(Tf(p)N)\Lambda^{k} (T_{f(p)}^{\ast}N)の定義により、ω(f(p))\omega (f(p))もまた、一つの関数である。ω(f(p))\omega (f(p))は「f(p)f(p)上の接ベクトル」kk個を変数とする。ここでも同様に、ω(f(p))\omega (f(p))自体が一つの関数であることを強調するために、以下のような表記を使おう。

ωf(p)=ω(f(p)) \omega_{f(p)} = \omega (f(p))

  • dfpvidf_{p}v_{i}

dfp:TpMTf(p)N df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N

f:MNf : M \to Nに対して、ff微分 dfpdf_{p}は上記のように定義される。したがって、$v_{i} \in T_{p

}Mであれば、であれば、df_{p}v_{i} = df_{p}(v_{i})T_{f(p)}N$の元である。

これを総合すると、(1)(1)を得る。

(fω)p(v1,,vk):=ωf(p)(dfpv1,,dfpvk),viTpM (f^{\ast}\omega)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) := \omega_{f(p)}\left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right),\quad v_{i} \in T_{p}M

上記の二つの関数の定義域を見ると、以下のような違いがある。

(fω)p:TpM××TpMk timesRωf(p):Tf(p)N××Tf(p)Nk timesR \begin{align*} (f^{\ast}\omega)_{p} : && \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} &\to \mathbb{R} \\ \omega_{f(p)} : && \underbrace{T_{f(p)}N \times \cdots \times T_{f(p)}N}_{k \text{ times}} &\to \mathbb{R} \end{align*}

この違いを微分dfp:TpMTf(p)Ndf_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}Nが繋いでいると考えればよい。そのため、dfpdf_{p}プッシュフォワードpush forward, 押し出しとも呼ぶ。11-形式φ\varphiに対して、以下が成立する。

φ(dfv)=fφ(v) \begin{equation} \varphi( dfv) = f^{\ast}\varphi(v) \end{equation}

00-形式のプルバック

f:MNf : M \to Nを二つの微分多様体間で定義された関数とする。g:NRg : N \to \mathbb{R}を関数(NNでの00-形式)とする。ggのプルバックfg:MRf^{\ast}g : M \to \mathbb{R}は、以下のように定義される関数(MMでの00-形式)である。

fg:=gf f^{\ast}g := g \circ f

座標変換

関数f:RnRmf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}が与えられたとする。x=(x1,,xn)Rn\mathbf{x} = (x_{1}, \dots ,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}であり、y=(y1,,ym)Rm\mathbf{y} = (y_{1}, \dots ,y_{m}) \in \mathbb{R}^{m}である。

f(x1,,xn)=(f1(x),,fm(x))=(y1,,ym) f(x_{1}, \dots, x_{n}) = (f_{1}(\mathbf{x}), \dots, f_{m}(\mathbf{x}) )= (y_{1}, \dots ,y_{m})

そして、ω=IaIdyI\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dy_{I}Rm\mathbb{R}^{m}上のkk-形式とする。そのとき、ω\omegaのプルバックfωf^{\ast}\omegaは以下の特性により、次のようになる。

fω=f(aIdyI)=f(aIdyI)=faIfdyI=faIf(dyi1dyik)=faI(fdyi1fdyik) \begin{align*} f^{\ast} \omega &= f^{\ast} \left( \sum a_{I}dy_{I} \right) \\ &= \sum f^{\ast} \left( a_{I}dy_{I} \right) \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} f^{\ast}dy_{I} \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} f^{\ast}(dy_{i1} \wedge \cdots \wedge dy_{ik}) \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} (f^{\ast}dy_{i1} \wedge \cdots \wedge f^{\ast}dy_{ik}) \end{align*}

この時、(2)(2)によりfdyi1(v)=dyi1(df(v))=d(yi1f)(v)=dfi1(v)f^{\ast}dy_{i1}(v) = dy_{i1}(df(v)) = d(y_{i1}\circ f)(v) = df_{i1}(v)であり、faI=aIff^{\ast}a_{I} = a_{I} \circ fであるため、

fω=aI(f1,fm)dfi1dfik \begin{equation} f^{\ast} \omega = \sum a_{I}(f_{1}, \dots f_{m}) df_{i1} \wedge \cdots \wedge df_{ik} \end{equation}

上記の式は座標変換を意味し、具体的にどのようになるかは以下の例で見てみよう。

\mathbb{R}^{2} \setminus \left{ 0, 0 \right}上の11-形式ω\omegaが以下のようであるとする。

ω=yx2+y2dx+xx2+y2dy=a1dx+a2dy \omega = - \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}dx + \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}dy = a_{1}dx + a_{2}dy

この直交座標上の11-形式を極座標に変換してみよう。U = \left{ (r,\theta) : 0 < r, 0 \le \theta < 2\pi \right}とする。そして、f:UR2f : U \to \mathbb{R}^{2}を以下のようにする。

f(r,θ)=(rcosθ,rsinθ)=(f1,f2) f(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (f_{1}, f_{2})

ここで、df1,df2df_{1}, df_{2}を計算してみよう。f1=rcosθ,f2=rsinθf_{1} = r\cos\theta, f_{2}=r\sin\thetaであるため、

df1=f1rdr+f1θdθ=cosθdrrsinθdθdf2=f2rdr+f2θdθ=sinθdr+rcosθdθ \begin{align*} df_{1} &= \dfrac{\partial f_{1}}{\partial r}dr + \dfrac{\partial f_{1}}{\partial \theta}d\theta = \cos\theta dr - r \sin \theta d\theta \\ df_{2} &= \dfrac{\partial f_{2}}{\partial r}dr + \dfrac{\partial f_{2}}{\partial \theta}d\theta = \sin\theta dr + r \cos \theta d\theta \\ \end{align*}

それにより、(3)(3)に従い、

fω=a1(f1,f2)df1+a2(f1,f2)df2=f2f12+f22(cosθdrrsinθdθ)+f1f12+f22df2(sinθdr+rcosθdθ)=rsinθr2cos2θ+r2sin2θ(cosθdrrsinθdθ)+rcosθr2cos2θ+r2sin2θ(sinθdr+rcosθdθ)=sinθcosθrdr+sin2θdθ+cosθsinθrdr+cos2θdθ=dθ \begin{align*} f^{\ast} \omega &= a_{1}(f_{1}, f_{2})df_{1} + a_{2}(f_{1}, f_{2})df_{2} \\ &= - \dfrac{f_{2}}{f_{1}^{2} + f_{2}^{2}}(\cos\theta dr - r \sin \theta d\theta) + \dfrac{f_{1}}{f_{1}^{2} + f_{2}^{2}}df_{2}(\sin\theta dr + r \cos \theta d\theta) \\ &= - \dfrac{r\sin\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}(\cos\theta dr - r \sin \theta d\theta) \\ &\quad + \dfrac{r\cos\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}(\sin\theta dr + r \cos \theta d\theta) \\ &= -\dfrac{\sin\theta \cos\theta}{r}dr + \sin^{2}\theta d\theta + \dfrac{\cos\theta \sin\theta}{r}dr + \cos^{2}\theta d\theta \\ &= d\theta \end{align*}

したがって、

yx2+y2dx+xx2+y2dy=dθ \int - \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}dx + \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}dy = \int d\theta

特性

M,NM, Nをそれぞれm,nm, n次元微分多様体、f:MNf : M \to Nとする。ω,φ\omega, \varphiNN上のkk-形式とする。ggNN上の00-形式とする。φi\varphi_{i}たちをNN上の11-形式とする。すると、以下が成立する。

f(ω+φ)= fω+fφf(gω)= (fg)(fω)f(φ1φk)= f(φ1)f(φk) \begin{align} f^{\ast} (\omega + \varphi) =&\ f^{\ast}\omega + f^{\ast}\varphi \tag{a} \\ f^{\ast} (g \omega) =&\ (f^{\ast}g) (f^{\ast}\omega) \tag{b} \\ f^{\ast} (\varphi_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k}) =&\ f^{\ast}(\varphi_{1}) \wedge \cdots \wedge f^{\ast}(\varphi_{k}) \tag{c} \end{align}

このとき、++\wedgeはそれぞれkk-形式の合計とくさび積である。

ω,φ\omega, \varphiNN上の任意の二つの形式とする。LLll次元微分多様体、g:LNg : L \to Nとする。

f(ωφ)=(fω)(fφ)(fg)ω=g(fω) \begin{align*} f^{\ast}(\omega \wedge \varphi) &= (f^{\ast}\omega) \wedge (f^{\ast}\varphi) \tag{d} \\ (f \circ g)^{\ast} \omega &= g^{\ast}(f^{\ast}\omega) \tag{e} \end{align*}

証明

証明 (a)(a)

(f(ω+φ))p(v1,,vk)= (ω+φ)f(p)(dfpv1,,dfpvk)= ωf(p)(dfpv1,,dfpvk)+φf(p)(dfpv1,,dfpvk)= (fω)p(v1,,vk)+(fφ)p(v1,,vk)= (fω+fφ)p(v1,,vk) \begin{align*} (f^{\ast}(\omega + \varphi))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ (\omega + \varphi)_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ \omega_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) + \varphi_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ (f^{\ast} \omega)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) + (f^{\ast} \varphi)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) \\ =&\ \left( f^{\ast}\omega + f^{\ast}\varphi \right)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) \end{align*}

証明 (b)(b)

00-形式ggkk-形式ω\omegaの積を以下のように定義する。

(gω)(p)=g(p)ω(p) (g\omega)(p) = g(p) \omega (p)

ここで、g(p)=gpg(p) = g_{p}はスカラー、ω(p)=ωp\omega (p) = \omega_{p}は関数であることに注意。それにより、

(f(gω))p(v1,,vk)= gωf(p)(dfpv1,,dfpvk)= gf(p)ωf(p)(dfpv1,,dfpvk)= gf(p)ωf(p)(dfpv1,,dfpvk)= (fg)p(fω)p(v1,,vk) \begin{align*} (f^{\ast} (g\omega))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ g\omega_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ g_{f(p)} \omega_{f(p)} (df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k}) \\ =&\ g\circ f(p) \omega_{f(p)} (df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k}) \\ =&\ (f^{\ast}g)_{p} (f^{\ast}\omega)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) \end{align*}

証明 (c)(c)

(f(φ1φk))p(v1,,vk)= (φ1φk)f(p)(df1,,dfk)= det[φidf(vj)]= det[fφi(vj)] \begin{align*} (f^{\ast}\left( \varphi_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k} \right))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ (\varphi_{1} \wedge \dots \wedge \varphi_{k})_{f(p)} \left( df_{1}, \dots, df_{k} \right) \\ =&\ \det [\varphi_{i}df(v_{j})] \\ =&\ \det [ f^{\ast} \varphi_{i}(v_{j})] \\ \end{align*}


  1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Forms and Applications, p6-8 ↩︎