📂幾何学

微分幾何学におけるプルバック

概要

微分多様体上のプルバックを定義する。微分多様体が難しい場合は、$M = \mathbb{R}^{m}$、$N = \mathbb{R}^{n}$と考えてもよい。

定義¹

二つの微分多様体 $M, N$と微分可能な関数 $f : M \to N$が与えられたとする。そこで、$N$の$k$-形式を$M$の$k$-形式に送る関数$f^{\ast}$を考えることができる。$\omega$を多様体$N$の$k$-形式とするとき、多様体$M$の$k$-形式$f^{\ast}\omega$を$\omega$のプルバック^{pull back, 引き戻し}と呼び、以下のように定義する。

$$ \begin{equation} (f^{\ast}\omega)(p) (v_{1}, \dots, v_{k}) := \omega (f(p))\left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right),\quad v_{i} \in T_{p}M \end{equation} $$

説明

プルバックという名前には、($f$が$M$から$N$へのマッピングであるのに対して)$f^{\ast}$は$N$から$M$へのマッピングであるという意味がある。定義と表記法がかなり難しいが、少しずつ理解していこう。

• $f^{\ast}$

$f^{\ast}$は$N$の$k$-形式を$M$の$k$-形式に送るマップである。したがって、$\omega$を$N$の$k$-形式とすると、$f^{\ast}\omega = f^{\ast}(\omega)$は$M$の$k$-形式である。

• $f^{\ast}\omega (p)$

多様体$M$上の$k$-形式は、$p \in M$を$\Lambda^{k}(T_{p}^{\ast}M)$の元にマッピングする。

$$ f^{\ast}\omega : M \to \Lambda^{k}(T_{p}^{\ast}M) $$

$$ \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\} $$

つまり、$f^{\ast}\omega (p) \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$もまた、一つの関数である。$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$の定義により、$f^{\ast}\omega (p)$は「$p$上の接ベクトル」$k$個を変数とする。これで、$(1)$はこの関数の関数値を具体的に定義した式であることがわかる。$f^{\ast}(p)$自体が一つの関数であることをより強調するため、以下のような表記を使うことにしよう。

$$ (f^{\ast}\omega)_{p} = f^{\ast}\omega (p) $$

• $\omega (f(p))$

$\omega$は$N$の$k$-形式であるため、$N$の点$f(p)$を$\Lambda^{k}(T_{f(p)}^{\ast}N)$の元にマッピングする。

$$ \Lambda^{k} (T_{f(p)}^{\ast}N) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{f(p)}N \times \cdots \times T_{f(p)}N}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\} $$

$\Lambda^{k} (T_{f(p)}^{\ast}N)$の定義により、$\omega (f(p))$もまた、一つの関数である。$\omega (f(p))$は「$f(p)$上の接ベクトル」$k$個を変数とする。ここでも同様に、$\omega (f(p))$自体が一つの関数であることを強調するために、以下のような表記を使おう。

$$ \omega_{f(p)} = \omega (f(p)) $$

• $df_{p}v_{i}$

$$ df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N $$

$f : M \to N$に対して、$f$の微分 $df_{p}$は上記のように定義される。したがって、$v_{i} \in T_{p

}M$であれば、$df_{p}v_{i} = df_{p}(v_{i})$は$T_{f(p)}N$の元である。

これを総合すると、$(1)$を得る。

$$ (f^{\ast}\omega)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) := \omega_{f(p)}\left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right),\quad v_{i} \in T_{p}M $$

上記の二つの関数の定義域を見ると、以下のような違いがある。

$$ \begin{align*} (f^{\ast}\omega)_{p} : && \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} &\to \mathbb{R} \\ \omega_{f(p)} : && \underbrace{T_{f(p)}N \times \cdots \times T_{f(p)}N}_{k \text{ times}} &\to \mathbb{R} \end{align*} $$

この違いを微分$df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N$が繋いでいると考えればよい。そのため、$df_{p}$をプッシュフォワード^{push forward, 押し出し}とも呼ぶ。$1$-形式$\varphi$に対して、以下が成立する。

$$ \begin{equation} \varphi( dfv) = f^{\ast}\varphi(v) \end{equation} $$

$0$-形式のプルバック

$f : M \to N$を二つの微分多様体間で定義された関数とする。$g : N \to \mathbb{R}$を関数($N$での$0$-形式)とする。$g$のプルバック$f^{\ast}g : M \to \mathbb{R}$は、以下のように定義される関数($M$での$0$-形式)である。

$$ f^{\ast}g := g \circ f $$

座標変換

関数$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$が与えられたとする。$\mathbf{x} = (x_{1}, \dots ,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$であり、$\mathbf{y} = (y_{1}, \dots ,y_{m}) \in \mathbb{R}^{m}$である。

$$ f(x_{1}, \dots, x_{n}) = (f_{1}(\mathbf{x}), \dots, f_{m}(\mathbf{x}) )= (y_{1}, \dots ,y_{m}) $$

そして、$\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dy_{I}$を$\mathbb{R}^{m}$上の$k$-形式とする。そのとき、$\omega$のプルバック$f^{\ast}\omega$は以下の特性により、次のようになる。

$$ \begin{align*} f^{\ast} \omega &= f^{\ast} \left( \sum a_{I}dy_{I} \right) \\ &= \sum f^{\ast} \left( a_{I}dy_{I} \right) \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} f^{\ast}dy_{I} \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} f^{\ast}(dy_{i1} \wedge \cdots \wedge dy_{ik}) \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} (f^{\ast}dy_{i1} \wedge \cdots \wedge f^{\ast}dy_{ik}) \end{align*} $$

この時、$(2)$により$f^{\ast}dy_{i1}(v) = dy_{i1}(df(v)) = d(y_{i1}\circ f)(v) = df_{i1}(v)$であり、$f^{\ast}a_{I} = a_{I} \circ f$であるため、

$$ \begin{equation} f^{\ast} \omega = \sum a_{I}(f_{1}, \dots f_{m}) df_{i1} \wedge \cdots \wedge df_{ik} \end{equation} $$

上記の式は座標変換を意味し、具体的にどのようになるかは以下の例で見てみよう。

例

$\mathbb{R}^{2} \setminus \left{ 0, 0 \right}$上の$1$-形式$\omega$が以下のようであるとする。

$$ \omega = - \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}dx + \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}dy = a_{1}dx + a_{2}dy $$

この直交座標上の$1$-形式を極座標に変換してみよう。$U = \left{ (r,\theta) : 0 < r, 0 \le \theta < 2\pi \right}$とする。そして、$f : U \to \mathbb{R}^{2}$を以下のようにする。

$$ f(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (f_{1}, f_{2}) $$

ここで、$df_{1}, df_{2}$を計算してみよう。$f_{1} = r\cos\theta, f_{2}=r\sin\theta$であるため、

$$ \begin{align*} df_{1} &= \dfrac{\partial f_{1}}{\partial r}dr + \dfrac{\partial f_{1}}{\partial \theta}d\theta = \cos\theta dr - r \sin \theta d\theta \\ df_{2} &= \dfrac{\partial f_{2}}{\partial r}dr + \dfrac{\partial f_{2}}{\partial \theta}d\theta = \sin\theta dr + r \cos \theta d\theta \\ \end{align*} $$

それにより、$(3)$に従い、

$$ \begin{align*} f^{\ast} \omega &= a_{1}(f_{1}, f_{2})df_{1} + a_{2}(f_{1}, f_{2})df_{2} \\ &= - \dfrac{f_{2}}{f_{1}^{2} + f_{2}^{2}}(\cos\theta dr - r \sin \theta d\theta) + \dfrac{f_{1}}{f_{1}^{2} + f_{2}^{2}}df_{2}(\sin\theta dr + r \cos \theta d\theta) \\ &= - \dfrac{r\sin\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}(\cos\theta dr - r \sin \theta d\theta) \\ &\quad + \dfrac{r\cos\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}(\sin\theta dr + r \cos \theta d\theta) \\ &= -\dfrac{\sin\theta \cos\theta}{r}dr + \sin^{2}\theta d\theta + \dfrac{\cos\theta \sin\theta}{r}dr + \cos^{2}\theta d\theta \\ &= d\theta \end{align*} $$

したがって、

$$ \int - \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}dx + \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}dy = \int d\theta $$

■

特性

$M, N$をそれぞれ$m, n$次元微分多様体、$f : M \to N$とする。$\omega, \varphi$を$N$上の$k$-形式とする。$g$を$N$上の$0$-形式とする。$\varphi_{i}$たちを$N$上の$1$-形式とする。すると、以下が成立する。

$$ \begin{align} f^{\ast} (\omega + \varphi) =&\ f^{\ast}\omega + f^{\ast}\varphi \tag{a} \\ f^{\ast} (g \omega) =&\ (f^{\ast}g) (f^{\ast}\omega) \tag{b} \\ f^{\ast} (\varphi_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k}) =&\ f^{\ast}(\varphi_{1}) \wedge \cdots \wedge f^{\ast}(\varphi_{k}) \tag{c} \end{align} $$

このとき、$+$と$\wedge$はそれぞれ$k$-形式の合計とくさび積である。

$\omega, \varphi$を$N$上の任意の二つの形式とする。$L$を$l$次元微分多様体、$g : L \to N$とする。

$$ \begin{align*} f^{\ast}(\omega \wedge \varphi) &= (f^{\ast}\omega) \wedge (f^{\ast}\varphi) \tag{d} \\ (f \circ g)^{\ast} \omega &= g^{\ast}(f^{\ast}\omega) \tag{e} \end{align*} $$

証明

証明 $(a)$

$$ \begin{align*} (f^{\ast}(\omega + \varphi))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ (\omega + \varphi)_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ \omega_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) + \varphi_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ (f^{\ast} \omega)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) + (f^{\ast} \varphi)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) \\ =&\ \left( f^{\ast}\omega + f^{\ast}\varphi \right)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) \end{align*} $$

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証明 $(b)$

$0$-形式$g$と$k$-形式$\omega$の積を以下のように定義する。

$$ (g\omega)(p) = g(p) \omega (p) $$

ここで、$g(p) = g_{p}$はスカラー、$\omega (p) = \omega_{p}$は関数であることに注意。それにより、

$$ \begin{align*} (f^{\ast} (g\omega))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ g\omega_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ g_{f(p)} \omega_{f(p)} (df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k}) \\ =&\ g\circ f(p) \omega_{f(p)} (df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k}) \\ =&\ (f^{\ast}g)_{p} (f^{\ast}\omega)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) \end{align*} $$

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証明 $(c)$

$$ \begin{align*} (f^{\ast}\left( \varphi_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k} \right))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ (\varphi_{1} \wedge \dots \wedge \varphi_{k})_{f(p)} \left( df_{1}, \dots, df_{k} \right) \\ =&\ \det [\varphi_{i}df(v_{j})] \\ =&\ \det [ f^{\ast} \varphi_{i}(v_{j})] \\ \end{align*} $$

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