k次の微分形式
概要
2階微分形式を定義した方法と同様に、微分多様体 $M$に対する $k$階形式 を定義する。
微分多様体が難しいなら、$M = \mathbb{R}^{n}$と思ってもいい。
ビルドアップ
$M$を$n$次元微分多様体とする。$p \in M$は$M$の点であり、$T_{p}M$は点$p$での$M$の接空間だ。$T_{p}^{\ast}M$は接空間の双対空間である余接空間だ。$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$を次のように多重線形な交代関数の集合として定義しよう。
$$ \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\} $$
$\varphi_{1}, \dots, \varphi_{k} \in T_{p}^{\ast}M$に対して、クサビ積 $\wedge$を次のように定義すると、$(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})$は$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$の要素になる。
$$ (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}) = \det \left[ \varphi_{i}(v_{j}) \right],\quad i,j=1,\dots,k $$
今、便宜上次のように表記しよう。
$$ (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} \overset{\text{notation}}{=} (dx_{i_{1}})_{p} \wedge (dx_{i_{2}})_{p} \wedge \cdots \wedge (dx_{i_{k}})_{p} \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) $$
この時、$i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} = 1, \dots, n$だ。すると、$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$はベクトル空間になる。
定理
下の集合
$$ \mathcal{B} = \left\{ (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} : i_{1} \lt i_{2} \lt \cdots \lt i_{k},\ i_{j}\in \left\{ 1,\dots,n \right\} \right\} $$
は$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$の基底だ。
証明
基底の定義により、$\mathcal{B}$が線形独立であり、$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$を生成することを示せばよい。便宜上、$M$の接空間 $T_{p}M$の基底を次のように表す。
$$ \left\{ e_{i} \right\} = \left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} $$
Part 1. 線形独立
次の式の解が$a_{i_{1}\dots i_{k}}$が全て$0$である場合のみであることを示せばよい。
$$ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} = 0 $$
ここで
$$ \left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right),\quad j_{1}\lt \cdots \lt j_{k},\ j_{\ell} \in \left\{ 1,\dots, n \right\} $$
を代入してみよう。
$$ \begin{align*} 0 =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right) \\[1em] =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}} \begin{vmatrix} dx_{i_{1}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{1}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{1}}(e_{j_{k}}) \\[1em] dx_{i_{2}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{2}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{2}}(e_{j_{k}}) \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] dx_{i_{k}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{k}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{k}}(e_{j_{k}}) \end{vmatrix} \end{align*} $$
行列式の最初の列を見てみよう。この列に$0$でない成分があるならば、$j_{1} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\}$でなければならない。この条件を次の列に順番に適用すると、次の結果を得る。
$$ j_{1}, \dots, j_{k} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\} $$
しかし、$i$のインデックスと$j$のインデックスには$i_{1}\lt \cdots \lt i_{k}$、$j_{1}\lt \cdots \lt j_{k}$という条件があるため、$i_{\ell} = j_{\ell}$だ。
$$ 0 = a_{j_{1}\dots j_{k}} $$
同じ論理で、全ての係数$a$が$0$でなければならないことがわかる。
Part 2. 生成
もし$f \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$なら、$f$が$\mathcal{B}$の線形結合で表され、次の式が成り立つことを示せばよい。
$$ f = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$
$g$を次のように定義しよう。
$$ g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$
すると、$g$がまさに$f$であることがわかる。両辺に$(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}})$を代入すると
$$ \begin{align*} g(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \\ =&\ f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \end{align*} $$
よって、$f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) = a_{i_{1} \dots i_{k}}$とすると、
$$ f = g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$
■
定義
点$p \in M$を次のようにマッピングする関数$\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$を$M$でのk階形式exterior k-form と定義する。
$$ \omega (p) = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}(p)(dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p},\quad i_{j} \in \left\{ 1, \dots, n \right\} $$
$$ \omega = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} $$
この時、$a_{i_{1}\dots i_{k}} : M \to \mathbb{R}$だ。各$a_{i_{1}\dots i_{k}}$が微分可能ならば、$\omega$をk階微分形式differential k-formと言う。また、便宜上$I = (i_{1},\dots,i_{k})$と言って次のように表記する。
$$ \omega = \sum \limits_{I} a_{I}dx_{I} $$
■
説明
定義により、$n$次元多様体では最大で$n$階形式まで存在する。また、$n$次元多様体での$k$階形式は$\binom{n}{k}$個の項を持つ。したがって、$\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$は$\binom{n}{k}$次元ベクトル空間だ。特に、微分多様体$M$上の**$0$-形式**は$M$上で定義された関数$f : M \to \mathbb{R}$によって定義される。
例えば、$\mathbb{R}^{3}$では3階形式まで存在する。
- 0階形式：$\mathbb{R}^{3}$上の関数
- 1階形式：$a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3}$
- 2階形式：$a_{12}dx_{1}\wedge dx_{2} + a_{13}dx_{1}\wedge dx_{3} + a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3}$
- 3階形式：$a_{123}dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3}$