logo

k次の微分形式 📂幾何学

k次の微分形式

概要

2階微分形式を定義した方法と同様に、微分多様体 MMに対する kk階形式 を定義する。

微分多様体が難しいなら、M=RnM = \mathbb{R}^{n}と思ってもいい。

ビルドアップ

MMをnn次元微分多様体とする。p∈Mp \in MはMMの点であり、TpMT_{p}Mは点ppでのMMの接空間だ。Tp∗MT_{p}^{\ast}Mは接空間の双対空間である余接空間だ。Λk(Tp∗M)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)を次のように多重線形な交代関数の集合として定義しよう。

Λk(Tp∗M):={φ:TpM×⋯×TpM⏟k times→R ∣ φ is k-linear alternating map} \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\}

φ1,…,φk∈Tp∗M\varphi_{1}, \dots, \varphi_{k} \in T_{p}^{\ast}Mに対して、クサビ積 ∧\wedgeを次のように定義すると、(φ1∧φ2∧⋯∧φk)(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})はΛk(Tp∗M)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)の要素になる。

(φ1∧φ2∧⋯∧φk)(v1,v2,…,vk)=det⁡[φi(vj)],i,j=1,…,k (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k})(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}) = \det \left[ \varphi_{i}(v_{j}) \right],\quad i,j=1,\dots,k

今、便宜上次のように表記しよう。

(dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik)p=notation(dxi1)p∧(dxi2)p∧⋯∧(dxik)p∈Λk(Tp∗M) (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} \overset{\text{notation}}{=} (dx_{i_{1}})_{p} \wedge (dx_{i_{2}})_{p} \wedge \cdots \wedge (dx_{i_{k}})_{p} \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)

この時、i1,i2,…,ik=1,…,ni_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} = 1, \dots, nだ。すると、Λk(Tp∗M)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)はベクトル空間になる。

定理

下の集合

B={(dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik)p:i1<i2<⋯<ik, ij∈{1,…,n}} \mathcal{B} = \left\{ (dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p} : i_{1} \lt i_{2} \lt \cdots \lt i_{k},\ i_{j}\in \left\{ 1,\dots,n \right\} \right\}

はΛk(Tp∗M)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)の基底だ。

証明

基底の定義により、B\mathcal{B}が線形独立であり、Λk(Tp∗M)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)を生成することを示せばよい。便宜上、MMの接空間 TpMT_{p}Mの基底を次のように表す。

{ei}={∂∂xi} \left\{ e_{i} \right\} = \left\{ \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right\} ​

  • Part 1. 線形独立

    次の式の解がai1…ika_{i_{1}\dots i_{k}}が全て00である場合のみであることを示せばよい。

    ∑i1<⋯<ikai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik=0 \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} = 0

    ここで

    (ej1,…,ejk),j1<⋯<jk, jℓ∈{1,…,n} \left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right),\quad j_{1}\lt \cdots \lt j_{k},\ j_{\ell} \in \left\{ 1,\dots, n \right\}

    を代入してみよう。

    0= ∑i1<⋯<ikai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik(ej1,…,ejk)= ∑i1<⋯<ikai1…ik∣dxi1(ej1)dxi1(ej2)⋯dxi1(ejk)dxi2(ej1)dxi2(ej2)⋯dxi2(ejk)⋮⋮⋱⋮dxik(ej1)dxik(ej2)⋯dxik(ejk)∣ \begin{align*} 0 =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\left(e_{j_{1}}, \dots, e_{j_{k}} \right) \\[1em] =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}} \begin{vmatrix} dx_{i_{1}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{1}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{1}}(e_{j_{k}}) \\[1em] dx_{i_{2}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{2}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{2}}(e_{j_{k}}) \\[1em] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1em] dx_{i_{k}}(e_{j_{1}}) & dx_{i_{k}}(e_{j_{2}}) & \cdots & dx_{i_{k}}(e_{j_{k}}) \end{vmatrix} \end{align*}

    行列式の最初の列を見てみよう。この列に00でない成分があるならば、j1∈{i1,…ik}j_{1} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\}でなければならない。この条件を次の列に順番に適用すると、次の結果を得る。

    j1,…,jk∈{i1,…ik} j_{1}, \dots, j_{k} \in \left\{ i_{1}, \dots i_{k} \right\}

    しかし、iiのインデックスとjjのインデックスにはi1<⋯<iki_{1}\lt \cdots \lt i_{k}、j1<⋯<jkj_{1}\lt \cdots \lt j_{k}という条件があるため、iℓ=jℓi_{\ell} = j_{\ell}だ。

    0=aj1…jk 0 = a_{j_{1}\dots j_{k}}

    同じ論理で、全ての係数aaが00でなければならないことがわかる。

  • Part 2. 生成

    もしf∈Λk(Tp∗M)f \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)なら、ffがB\mathcal{B}の線形結合で表され、次の式が成り立つことを示せばよい。

    f=∑i1<⋯<ikai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik f = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

    ggを次のように定義しよう。

    g=∑i1<⋯<ikf(ei1,…,eik)dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

    すると、ggがまさにffであることがわかる。両辺に(ei1,…,eik)(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}})を代入すると

    g(ei1,…,eik)= ∑i1<⋯<ikf(ei1,…,eik)dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik(ei1,…,eik)= f(ei1,…,eik) \begin{align*} g(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) =&\ \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \\ =&\ f(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) \end{align*}

    よって、f(ei1,…,eik)=ai1…ikf(e_{i_{1}},\dots,e_{i_{k}}) = a_{i_{1} \dots i_{k}}とすると、

    f=g=∑i1<⋯<ikai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik f = g = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1} \dots i_{k}} dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

■

定義

点p∈Mp \in Mを次のようにマッピングする関数ω:M→Λk(Tp∗M)\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)をMMでのk階形式exterior k-form と定義する。

ω(p)=∑i1<⋯<ikai1…ik(p)(dxi1∧dxi2∧⋯∧dxik)p,ij∈{1,…,n} \omega (p) = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}(p)(dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}})_{p},\quad i_{j} \in \left\{ 1, \dots, n \right\}

ω=∑i1<⋯<ikai1…ikdxi1∧dxi2∧⋯∧dxik \omega = \sum \limits_{i_{1} \lt \cdots \lt i_{k} } a_{i_{1}\dots i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}

この時、ai1…ik:M→Ra_{i_{1}\dots i_{k}} : M \to \mathbb{R}だ。各ai1…ika_{i_{1}\dots i_{k}}が微分可能ならば、ω\omegaをk階微分形式differential k-formと言う。また、便宜上I=(i1,…,ik)I = (i_{1},\dots,i_{k})と言って次のように表記する。

ω=∑IaIdxI \omega = \sum \limits_{I} a_{I}dx_{I}

■

説明

定義により、nn次元多様体では最大でnn階形式まで存在する。また、nn次元多様体でのkk階形式は(nk)\binom{n}{k}個の項を持つ。したがって、Λk(Tp∗M)\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)は(nk)\binom{n}{k}次元ベクトル空間だ。特に、微分多様体MM上の**00-形式**はMM上で定義された関数f:M→Rf : M \to \mathbb{R}によって定義される。

例えば、R3\mathbb{R}^{3}では3階形式まで存在する。

  • 0階形式：R3\mathbb{R}^{3}上の関数
  • 1階形式：a1dx1+a2dx2+a3dx3a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3}
  • 2階形式：a12dx1∧dx2+a13dx1∧dx3+a23dx2∧dx3a_{12}dx_{1}\wedge dx_{2} + a_{13}dx_{1}\wedge dx_{3} + a_{23} dx_{2} \wedge dx_{3}
  • 3階形式：a123dx1∧dx2∧dx3a_{123}dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3}

参照