位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)
定理
$M$をコンパクトな曲面、$V$を有限個の零点を持つ$M$のベクトル場とする。すると次が成り立つ。
$$ I(M) = \chi(M) $$
このとき $\chi$ はオイラー標数である。
説明
これは ポアンカレ-ブロウエルの定理Poincare-Brouwer theoremと呼ぶ。
本当に不思議だが、証明を見ると当然だ。
証明
$$ I(W) = \sum i_{p} = (+1)V + (-1)E + (+1)F = \chi(M) $$
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