量子力学における角運動量演算子
ビルドアップ
角運動量演算子は角運動量の古典的定義から自然に誘導される。
$$ \mathbf{l} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \tag{1} $$
ここで$\mathbf{r} = (x, y, z)$、$\mathbf{p} = (p_{x}, p_{y}, p_{z})$とすれば、角運動量$\mathbf{l} = (l_{x}, l_{y}, l_{z})$の各成分は次のようになる。
$$ l_{x} = yp_{z} - zp_{y},\quad l_{y} = zp_{x} - xp_{z},\quad l_{z} = xp_{y} - yp_{x} $$
上の式に従って、角運動量演算子は位置演算子$X$と運動量演算子$P$で自然に定義できる。
定義
波動関数の角運動量演算子angular momentum operator$L = (L_{x}, L_{y}, L_{z})$を次のように定義する。
$$ \begin{align*} L_{x} := YP_{z} - ZP_{y} \\ L_{y} := ZP_{x} - XP_{z} \\ L_{z} := XP_{y} - YP_{x} \end{align*} $$
説明
運動量演算子が具体的に$P_{j} = -\i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}$なので、角運動量演算子は次の通り。
$$ L = -\i\hbar \mathbf{r} \times \nabla,\qquad \mathbf{r} = (X, Y, Z) $$
このとき、$\nabla = \left( \dfrac{\partial }{\partial x}, \dfrac{\partial }{\partial y}, \dfrac{\partial }{\partial z} \right)$はデル演算子だ。3次元で運動量演算子が$-\i\hbar \nabla$なので、角運動量の古典的定義が自然に演算子に拡張された。
球座標系
角運動量演算子は球座標系で次のように表現される。
$$ \begin{align*} L_{x} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{y} &= -\i\hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{z} &= -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial \phi} \end{align*} $$
はしご演算子
$$ L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y} $$