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量子力学における角運動量演算子 📂量子力学

量子力学における角運動量演算子

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角運動量演算子は角運動量の古典的定義から自然に誘導される。

l=r×p(1) \mathbf{l} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \tag{1}

ここでr=(x,y,z)\mathbf{r} = (x, y, z)、p=(px,py,pz)\mathbf{p} = (p_{x}, p_{y}, p_{z})とすれば、角運動量l=(lx,ly,lz)\mathbf{l} = (l_{x}, l_{y}, l_{z})の各成分は次のようになる。

lx=ypz−zpy,ly=zpx−xpz,lz=xpy−ypx l_{x} = yp_{z} - zp_{y},\quad l_{y} = zp_{x} - xp_{z},\quad l_{z} = xp_{y} - yp_{x}

上の式に従って、角運動量演算子は位置演算子XXと運動量演算子PPで自然に定義できる。

定義

波動関数の角運動量演算子angular momentum operatorL=(Lx,Ly,Lz)L = (L_{x}, L_{y}, L_{z})を次のように定義する。

Lx:=YPz−ZPyLy:=ZPx−XPzLz:=XPy−YPx \begin{align*} L_{x} := YP_{z} - ZP_{y} \\ L_{y} := ZP_{x} - XP_{z} \\ L_{z} := XP_{y} - YP_{x} \end{align*}

説明

運動量演算子が具体的にPj=−iℏ∂∂xjP_{j} = -\i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}なので、角運動量演算子は次の通り。

L=−iℏr×∇,r=(X,Y,Z) L = -\i\hbar \mathbf{r} \times \nabla,\qquad \mathbf{r} = (X, Y, Z)

このとき、∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left( \dfrac{\partial }{\partial x}, \dfrac{\partial }{\partial y}, \dfrac{\partial }{\partial z} \right)はデル演算子だ。3次元で運動量演算子が−iℏ∇-\i\hbar \nablaなので、角運動量の古典的定義が自然に演算子に拡張された。

球座標系

角運動量演算子は球座標系で次のように表現される。

Lx=iℏ(sin⁡ϕ∂∂θ+cos⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)Ly=−iℏ(cos⁡ϕ∂∂θ−sin⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)Lz=−iℏ∂∂ϕ \begin{align*} L_{x} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{y} &= -\i\hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{z} &= -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial \phi} \end{align*}

はしご演算子

角運動量のはしご演算子は次の通り。

L+:=Lx+iLyL−:=Lx−iLy L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y}